Theorem xpsxmetlem 22184

Description: Lemma for xpsxmet 22185. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsds.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsds.p	⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m	⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n	⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
xpsds.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
xpsxmetlem	⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsxmetlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
3		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))
4		eqid 2622	. . 3 ⊢ ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
5		eqid 2622	. . 3 ⊢ (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6		fvexd 6203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7		2on 7568	. . . 4 ⊢ 2𝑜 ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2𝑜 ∈ On)
9		fvexd 6203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2𝑜) → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) ∈ V)
10		elpri 4197	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜))
11		df2o3 7573	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
12	10, 11	eleq2s 2719	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 2𝑜 → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜))
13		xpsds.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ∅ → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))
16		xpsds.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		xpsc0 16220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
19	15, 18	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑅)
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑅))
21	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑅))
22		xpsds.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
23	21, 22	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑋)
24	23	sqxpeqd 5141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑋 × 𝑋))
25	20, 24	reseq12d 5397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
26		xpsds.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
27	25, 26	syl6eqr 2674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑀)
28	23	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (∞Met‘𝑋))
29	14, 27, 28	3eltr4d 2716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
30		xpsds.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
31	30	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1𝑜 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))
33		xpsds.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
34		xpsc1 16221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
36	32, 35	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
37	36	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → (dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑆))
38	36	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑆))
39		xpsds.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
40	38, 39	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑌)
41	40	sqxpeqd 5141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑌 × 𝑌))
42	37, 41	reseq12d 5397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
43		xpsds.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
44	42, 43	syl6eqr 2674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑁)
45	40	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (∞Met‘𝑌))
46	31, 44, 45	3eltr4d 2716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
47	29, 46	jaodan 826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜)) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
48	12, 47	sylan2 491	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2𝑜) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 48	prdsxmet 22174	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
50		xpscfn 16219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
51	16, 33, 50	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
52		dffn5 6241	. . . . 5 ⊢ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜 ↔ ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
53	51, 52	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
54	53	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
55	54	fveq2d 6195	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
56		xpsds.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
57		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
58		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
59		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
60	56, 22, 39, 16, 33, 57, 58, 59	xpslem 16233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
61	54	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
62	60, 61	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
63	62	fveq2d 6195	. 2 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) = (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
64	49, 55, 63	3eltr4d 2716	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  ran crn 5115   ↾ cres 5116  Oncon0 5723   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554   +_𝑐 ccda 8989  Basecbs 15857  Scalarcsca 15944  distcds 15950  X_scprds 16106   ×_s cxps 16166  ∞Metcxmt 19731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-xmet 19739

This theorem is referenced by:  xpsxmet  22185  xpsdsval  22186