Theorem 3dec 9642

Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dec	⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)

Proof of Theorem 3dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 8480	. 2 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶)
2		dfdec10 8480	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
3	2	oveq2i 5543	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
4		1nn 8050	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	decnncl2 8500	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
6	5	nncni 8049	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
7		3dec.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 8300	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	6, 8	mulcli 7124	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
10		3dec.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 8300	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
12	6, 9, 11	adddii 7129	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
13	3, 12	eqtri 2101	. . . 4 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
14	6, 6, 8	mulassi 7128	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;10 · (;10 · 𝐴))
15	14	eqcomi 2085	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = ((;10 · ;10) · 𝐴)
16	6	sqvali 9555	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑2) = (;10 · ;10)
17	16	eqcomi 2085	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · ;10) = (;10↑2)
18	17	oveq1i 5542	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = ((;10↑2) · 𝐴)
19	15, 18	eqtri 2101	. . . . 5 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = ((;10↑2) · 𝐴)
20	19	oveq1i 5542	. . . 4 ⊢ ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵)) = (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
21	13, 20	eqtri 2101	. . 3 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
22	21	oveq1i 5542	. 2 ⊢ ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶) = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
23	1, 22	eqtri 2101	1 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986  2c2 8089  ℕ₀cn0 8288  ;cdc 8477  ↑cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-5 8101  df-6 8102  df-7 8103  df-8 8104  df-9 8105  df-n0 8289  df-z 8352  df-dec 8478  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  10265