Theorem 4bc2eq6 9701

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 8362	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 8381	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 8379	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1116	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 8129	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 8109	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 8116	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 8205	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 7213	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 266	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 9038	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 416	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 9677	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 7	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 8306	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 9657	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 8100	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5201	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5543	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2111	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 8117	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 8110	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 8159	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5201	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 9658	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2101	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5544	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 8186	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2101	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5544	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 9662	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 8049	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 8138	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 7847	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 9659	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2101	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2101	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2101	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 102   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986   ≤ cle 7154   − cmin 7279   / cdiv 7760  ℕcn 8039  2c2 8089  3c3 8090  4c4 8091  6c6 8093  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351  ...cfz 9029  !cfa 9652  Ccbc 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-5 8101  df-6 8102  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-fz 9030  df-iseq 9432  df-fac 9653  df-bc 9675

This theorem is referenced by:  ex-bc  10566