Theorem bezoutlemeu 10396

Description: Lemma for Bézout's identity. There is exactly one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝐴,𝑑,𝑧   𝐵,𝑑,𝑧   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐷(𝑑)

Proof of Theorem bezoutlemeu

Dummy variables 𝑒 𝑤 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		bezoutlemgcd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		bezoutlembi 10394	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
4		simpl 107	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
5	4	reximi 2458	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
7	1, 2, 6	syl2anc 403	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
8	1	ad2antrr 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	2	ad2antrr 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		simplrl 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
11		simprl 497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
12		breq1 3788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑑))
13		breq1 3788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
14		breq1 3788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
15	13, 14	anbi12d 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
16	12, 15	bibi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
17	16	cbvralv 2577	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
18	11, 17	sylib 120	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
19		simplrr 502	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
20		simprr 498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
21		breq1 3788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ 𝑤 ∥ 𝑒))
22	21, 15	bibi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
23	22	cbvralv 2577	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
24	20, 23	sylib 120	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
25	8, 9, 10, 18, 19, 24	bezoutlemmo 10395	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑑 = 𝑒)
26	25	ex 113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
27	26	ralrimivva 2443	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
28		breq2 3789	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 𝑒))
29	28	bibi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
30	29	ralbidv 2368	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
31	30	rmo4 2785	. . 3 ⊢ (∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
32	27, 31	sylibr 132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
33		reu5 2566	. 2 ⊢ (∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
34	7, 32, 33	sylanbrc 408	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  ∃wrex 2349  ∃!wreu 2350  ∃*wrmo 2351   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   + caddc 6984   · cmul 6986  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351   ∥ cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  dfgcd3  10399  bezout  10400