Theorem caucvgrelemcau 9866

Description: Lemma for caucvgre 9867. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
caucvgrelemcau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑟,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐹(𝑟)

Proof of Theorem caucvgrelemcau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 496	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2	1	nnred 8052	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
3		simpr 108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	nnred 8052	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
5		ltle 7198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘 → 𝑛 ≤ 𝑘))
6	2, 4, 5	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → 𝑛 ≤ 𝑘))
7		eluznn 8687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	ex 113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ))
9		nnz 8370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
10		eluz1 8623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
12		simpr 108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘) → 𝑛 ≤ 𝑘)
13	11, 12	syl6bi 161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑛 ≤ 𝑘))
14	8, 13	jcad 301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
15		nnz 8370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
16	15	anim1i 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘))
17	16, 11	syl5ibr 154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)))
18	14, 17	impbid 127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
19	18	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
20	19	biimpar 291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
21		caucvgre.cau	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
22	21	r19.21bi 2449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
23	22	r19.21bi 2449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
24	20, 23	syldan 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
25	24	expr 367	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ≤ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)))))
26	6, 25	syld 44	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)))))
27		ltxrlt 7178	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘 ↔ 𝑛 <ℝ 𝑘))
28	2, 4, 27	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 ↔ 𝑛 <ℝ 𝑘))
29		caucvgre.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
30	29	ad2antrr 471	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
31	30, 1	ffvelrnd 5324	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
32	30, 3	ffvelrnd 5324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
33	1	nnrecred 8085	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
34	32, 33	readdcld 7148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
35		ltxrlt 7178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
36	31, 34, 35	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
37		nnap0 8068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 # 0)
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 # 0)
39		caucvgrelemrec 9865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 # 0) → (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
40	2, 38, 39	syl2anc 403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
41	40	oveq2d 5548	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)))
42	41	breq2d 3797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
43	36, 42	bitr4d 189	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
44	31, 33	readdcld 7148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
45		ltxrlt 7178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
46	32, 44, 45	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
47	40	oveq2d 5548	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)))
48	47	breq2d 3797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
49	46, 48	bitr4d 189	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
50	43, 49	anbi12d 456	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))) ↔ ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
51	26, 28, 50	3imtr3d 200	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
52	51	ralrimiva 2434	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
53	52	ralrimiva 2434	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348   class class class wbr 3785  ⟶wf 4918  ‘cfv 4922  ℩crio 5487  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   <_ℝ cltrr 6985   · cmul 6986   < clt 7153   ≤ cle 7154   # cap 7681   / cdiv 7760  ℕcn 8039  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  caucvgre  9867