Theorem caucvgre 9867

Description: Convergence of real sequences.

A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within 1 / 𝑛 of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
caucvgre	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦   𝑘,𝐹,𝑖,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑘   𝜑,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem caucvgre

Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfnn2 8041	. . . 4 ⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2		caucvgre.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3		caucvgre.cau	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
4	2, 3	caucvgrelemcau 9866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5	1, 2, 4	ax-caucvg 7096	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
6		ralrp 8755	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
7		0re 7119	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		ltxrlt 7178	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 ↔ 0 <ℝ 𝑥))
9	7, 8	mpan 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 <ℝ 𝑥))
10	9	imbi1d 229	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))) ↔ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))))
11	10	ralbiia 2380	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
12	6, 11	bitri 182	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
13	12	rexbii 2373	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
14	5, 13	sylibr 132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
15		simpr 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
16	15	peano2nnd 8054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
17		uznnssnn 8665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℕ → (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ)
18		ssralv 3058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
19	16, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
20		eluznn 8687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
21	16, 20	sylan 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
22		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
23	22	peano2nnd 8054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
24	23	nnzd 8468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
25		eluz1 8623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
27	26	biimpd 142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
28	27	impancom 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
29	21, 28	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
30	29	simprd 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)
31		nnre 8046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
32	31	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
33		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
34	33	nnred 8052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
35		1re 7118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
36		ltadd1 7533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
37	35, 36	mp3an3 1257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
38	32, 34, 37	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
39		nnleltp1 8410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
40	23, 33, 39	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
41	38, 40	bitr4d 189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
42	21, 41	syldan 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
43	30, 42	mpbird 165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → 𝑚 < 𝑘)
44		nnre 8046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
45		ltxrlt 7178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ 𝑚 <ℝ 𝑘))
46	31, 44, 45	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ 𝑚 <ℝ 𝑘))
47	46	adantll 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ 𝑚 <ℝ 𝑘))
48	2	ad4antr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
49	48, 33	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
50		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
51	50	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		rpre 8740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
53	52	ad3antlr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
54	51, 53	readdcld 7148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ)
55		ltxrlt 7178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥)))
56	49, 54, 55	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥)))
57	49, 53	readdcld 7148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ)
58		ltxrlt 7178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
59	51, 57, 58	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
60	56, 59	anbi12d 456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
61	47, 60	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) ↔ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
62	61	biimprd 156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
63	21, 62	syldan 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))))
64	43, 63	mpid 41	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
65	64	ralimdva 2429	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
66	19, 65	syld 44	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))))
67		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
68	67	breq1d 3795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥)))
69	67	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) = ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))
70	69	breq2d 3797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
71	68, 70	anbi12d 456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
72	71	cbvralv 2577	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
73	66, 72	syl6ib 159	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
74	73	reximdva 2463	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
75		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(𝑚 + 1)))
76	75	raleqdv 2555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
77	76	rspcev 2701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
78	16, 77	sylan 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
79	78	ex 113	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
80	79	rexlimdva 2477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
81	74, 80	syld 44	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
82	81	ralimdva 2429	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
83	82	reximdva 2463	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <ℝ (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 <ℝ ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
84	14, 83	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  ∃wrex 2349   ⊆ wss 2973   class class class wbr 3785  ⟶wf 4918  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   <_ℝ cltrr 6985   < clt 7153   ≤ cle 7154   / cdiv 7760  ℕcn 8039  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  ℝ⁺crp 8734

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  9871