Theorem vtoclga 2664

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclga.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2219	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1461	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclga.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclga.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2663	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603

This theorem is referenced by:  vtoclri  2673  ssuni  3623  ordtriexmid  4265  onsucsssucexmid  4270  tfis3  4327  fvmpt3  5272  fvmptssdm  5276  fnressn  5370  fressnfv  5371  caovord  5692  caovimo  5714  tfrlem1  5946  freccl  6016  nnacl  6082  nnmcl  6083  nnacom  6086  nnaass  6087  nndi  6088  nnmass  6089  nnmsucr  6090  nnmcom  6091  nnsucsssuc  6094  nntri3or  6095  nnaordi  6104  nnaword  6107  nnmordi  6112  nnaordex  6123  findcard  6372  findcard2  6373  findcard2s  6374  indpi  6532  prarloclem3  6687  uzind4s2  8679  cnref1o  8733  frec2uzrdg  9411  expcl2lemap  9488  climub  10182  climserile  10183  ialginv  10429  ialgcvg  10430  ialgcvga  10433  ialgfx  10434  prmind2  10502