Theorem 0lnfn 28844

Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lnfn	|- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn

Proof of Theorem 0lnfn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10032	. . 3 |- 0 e. CC
2	1	fconst6 6095	. 2 |- ( ~H X. { 0 } ) : ~H --> CC
3		hvmulcl 27870	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
4		hvaddcl 27869	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
5	3, 4	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
6		c0ex 10034	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
7	6	fvconst2 6469	. . . . . 6 |- ( ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = 0 )
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = 0 )
9	6	fvconst2 6469	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) = 0 )
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) = ( x x. 0 ) )
11		mul01 10215	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( x x. 0 ) = 0 )
12	10, 11	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) = 0 )
13	6	fvconst2 6469	. . . . . . 7 |- ( z e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) = 0 )
14	12, 13	oveqan12d 6669	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) = ( 0 + 0 ) )
15		00id 10211	. . . . . 6 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) = 0 )
17	8, 16	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) )
18	17	3impa 1259	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) )
19	18	rgen3 2976	. 2 |- A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) )
20		ellnfn 28742	. 2 |- ( ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn <-> ( ( ~H X. { 0 } ) : ~H --> CC /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) ) )
21	2, 19, 20	mpbir2an 955	1 |- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {csn 4177   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   LinFnclf 27811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hfvmul 27862

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-lnfn 28707

This theorem is referenced by:  nmfn0  28846  lnfn0  28906  lnfnmul  28907  nmbdfnlb  28909  nmcfnex  28912  nmcfnlb  28913  lnfncon  28915  riesz4  28923  riesz1  28924