Theorem nmfn0 28846

Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfn0	|- ( normfn ` ( ~H X. { 0 } ) ) = 0

Proof of Theorem nmfn0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lnfn 28844	. . 3 |- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn
2		lnfnf 28743	. . 3 |- ( ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn -> ( ~H X. { 0 } ) : ~H --> CC )
3		nmfnval 28735	. . 3 |- ( ( ~H X. { 0 } ) : ~H --> CC -> ( normfn ` ( ~H X. { 0 } ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 |- ( normfn ` ( ~H X. { 0 } ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) ) } , RR* , < )
5		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
6	5	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) = 0 )
7	6	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( abs ` ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) = ( abs ` 0 ) )
8		abs0 14025	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` 0 ) = 0
9	7, 8	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( abs ` ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) = 0 )
10	9	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( x = ( abs ` ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) <-> x = 0 ) )
11	10	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = 0 ) ) )
12	11	rexbiia 3040	. . . . . 6 |- ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = 0 ) )
13		ax-hv0cl 27860	. . . . . . . 8 |- 0h e. ~H
14		0le1 10551	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = 0h -> ( normh ` y ) = ( normh ` 0h ) )
16		norm0 27985	. . . . . . . . . . 11 |- ( normh ` 0h ) = 0
17	15, 16	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0h -> ( normh ` y ) = 0 )
18	17	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0h -> ( ( normh ` y ) <_ 1 <-> 0 <_ 1 ) )
19	18	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( 0h e. ~H /\ 0 <_ 1 ) -> E. y e. ~H ( normh ` y ) <_ 1 )
20	13, 14, 19	mp2an 708	. . . . . . 7 |- E. y e. ~H ( normh ` y ) <_ 1
21		r19.41v 3089	. . . . . . 7 |- ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = 0 ) <-> ( E. y e. ~H ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = 0 ) )
22	20, 21	mpbiran 953	. . . . . 6 |- ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = 0 ) <-> x = 0 )
23	12, 22	bitri 264	. . . . 5 |- ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) ) <-> x = 0 )
24	23	abbii 2739	. . . 4 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) ) } = { x | x = 0 }
25		df-sn 4178	. . . 4 |- { 0 } = { x | x = 0 }
26	24, 25	eqtr4i 2647	. . 3 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) ) } = { 0 }
27	26	supeq1i 8353	. 2 |- sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( abs ` ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < )
28		xrltso 11974	. . 3 |- < Or RR*
29		0xr 10086	. . 3 |- 0 e. RR*
30		supsn 8378	. . 3 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
31	28, 29, 30	mp2an 708	. 2 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
32	4, 27, 31	3eqtri 2648	1 |- ( normfn ` ( ~H X. { 0 } ) ) = 0

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   {csn 4177   class class class wbr 4653   Or wor 5034   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   abscabs 13974   ~Hchil 27776   normhcno 27780   0hc0v 27781   normfncnmf 27808   LinFnclf 27811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his3 27941

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-hnorm 27825  df-nmfn 28704  df-lnfn 28707

This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  28909  branmfn  28964