Theorem nmcfnlb 28913

Description: A lower bound of the norm of a continuous linear Hilbert space functional. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmcfnlb	|- ( ( T e. LinFn /\ T e. ContFn /\ A e. ~H ) -> ( abs ` ( T ` A ) ) <_ ( ( normfn ` T ) x. ( normh ` A ) ) )

Proof of Theorem nmcfnlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3796	. . 3 |- ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) <-> ( T e. LinFn /\ T e. ContFn ) )
2		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( T = if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) -> ( T ` A ) = ( if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ` A ) )
3	2	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( T = if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) -> ( abs ` ( T ` A ) ) = ( abs ` ( if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ` A ) ) )
4		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( T = if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) -> ( normfn ` T ) = ( normfn ` if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ) )
5	4	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( T = if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) -> ( ( normfn ` T ) x. ( normh ` A ) ) = ( ( normfn ` if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ) x. ( normh ` A ) ) )
6	3, 5	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( T = if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) -> ( ( abs ` ( T ` A ) ) <_ ( ( normfn ` T ) x. ( normh ` A ) ) <-> ( abs ` ( if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ` A ) ) <_ ( ( normfn ` if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ) x. ( normh ` A ) ) ) )
7	6	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( T = if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) -> ( ( A e. ~H -> ( abs ` ( T ` A ) ) <_ ( ( normfn ` T ) x. ( normh ` A ) ) ) <-> ( A e. ~H -> ( abs ` ( if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ` A ) ) <_ ( ( normfn ` if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ) x. ( normh ` A ) ) ) ) )
8		0lnfn 28844	. . . . . . . . . 10 |- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn
9		0cnfn 28839	. . . . . . . . . 10 |- ( ~H X. { 0 } ) e. ContFn
10		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ~H X. { 0 } ) e. ( LinFn i^i ContFn ) <-> ( ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn /\ ( ~H X. { 0 } ) e. ContFn ) )
11	8, 9, 10	mpbir2an 955	. . . . . . . . 9 |- ( ~H X. { 0 } ) e. ( LinFn i^i ContFn )
12	11	elimel 4150	. . . . . . . 8 |- if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) e. ( LinFn i^i ContFn )
13		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) e. ( LinFn i^i ContFn ) <-> ( if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) e. LinFn /\ if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) e. ContFn ) )
14	12, 13	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) e. LinFn /\ if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) e. ContFn )
15	14	simpli 474	. . . . . 6 |- if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) e. LinFn
16	14	simpri 478	. . . . . 6 |- if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) e. ContFn
17	15, 16	nmcfnlbi 28911	. . . . 5 |- ( A e. ~H -> ( abs ` ( if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ` A ) ) <_ ( ( normfn ` if ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ) x. ( normh ` A ) ) )
18	7, 17	dedth 4139	. . . 4 |- ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) -> ( A e. ~H -> ( abs ` ( T ` A ) ) <_ ( ( normfn ` T ) x. ( normh ` A ) ) ) )
19	18	imp 445	. . 3 |- ( ( T e. ( LinFn i^i ContFn ) /\ A e. ~H ) -> ( abs ` ( T ` A ) ) <_ ( ( normfn ` T ) x. ( normh ` A ) ) )
20	1, 19	sylanbr 490	. 2 |- ( ( ( T e. LinFn /\ T e. ContFn ) /\ A e. ~H ) -> ( abs ` ( T ` A ) ) <_ ( ( normfn ` T ) x. ( normh ` A ) ) )
21	20	3impa 1259	1 |- ( ( T e. LinFn /\ T e. ContFn /\ A e. ~H ) -> ( abs ` ( T ` A ) ) <_ ( ( normfn ` T ) x. ( normh ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   x. cmul 9941   <_ cle 10075   abscabs 13974   ~Hchil 27776   normhcno 27780   normfncnmf 27808   ContFnccnfn 27810   LinFnclf 27811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-nmfn 28704  df-cnfn 28706  df-lnfn 28707

This theorem is referenced by:  lnfnconi  28914