Theorem nvzcl 27489

Description: Closure law for the zero vector of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvzcl.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nvzcl.6	|- Z = ( 0vec ` U )

Assertion

Ref	Expression
nvzcl	|- ( U e. NrmCVec -> Z e. X )

Proof of Theorem nvzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
2		nvzcl.6	. . 3 |- Z = ( 0vec ` U )
3	1, 2	0vfval 27461	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> Z = (GId ` ( +v ` U ) ) )
4	1	nvgrp 27472	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> ( +v ` U ) e. GrpOp )
5		nvzcl.1	. . . . 5 |- X = ( BaseSet ` U )
6	5, 1	bafval 27459	. . . 4 |- X = ran ( +v ` U )
7		eqid 2622	. . . 4 |- (GId ` ( +v ` U ) ) = (GId ` ( +v ` U ) )
8	6, 7	grpoidcl 27368	. . 3 |- ( ( +v ` U ) e. GrpOp -> (GId ` ( +v ` U ) ) e. X )
9	4, 8	syl 17	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> (GId ` ( +v ` U ) ) e. X )
10	3, 9	eqeltrd 2701	1 |- ( U e. NrmCVec -> Z e. X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   GrpOpcgr 27343  GIdcgi 27344   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   0veccn0v 27443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455

This theorem is referenced by:  nvmeq0  27513  nvz0  27523  elimnv  27538  nvnd  27543  imsmetlem  27545  dip0r  27572  dip0l  27573  sspz  27590  lno0  27611  lnomul  27615  nvo00  27616  nmosetn0  27620  nmooge0  27622  0oo  27644  0lno  27645  nmoo0  27646  blocni  27660  ubthlem1  27726  minvecolem1  27730  hl0cl  27758  hhshsslem2  28125