Theorem 0rrv 30513

Description: The constant function equal to zero is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
0rrv.1	|- ( ph -> P e. Prob )

Assertion

Ref	Expression
0rrv	|- ( ph -> ( x e. U. dom P |-> 0 ) e. (rRndVar ` P ) )

Distinct variable group:   x, P

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem 0rrv

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
2	1	rgenw 2924	. . . 4 |- A. x e. U. dom P 0 e. RR
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. U. dom P |-> 0 ) = ( x e. U. dom P |-> 0 )
4	3	fmpt 6381	. . . 4 |- ( A. x e. U. dom P 0 e. RR <-> ( x e. U. dom P |-> 0 ) : U. dom P --> RR )
5	2, 4	mpbi 220	. . 3 |- ( x e. U. dom P |-> 0 ) : U. dom P --> RR
6	5	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( x e. U. dom P |-> 0 ) : U. dom P --> RR )
7		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . 10 |- ( U. dom P X. { 0 } ) = ( x e. U. dom P |-> 0 )
8	7	cnveqi 5297	. . . . . . . . 9 |- `' ( U. dom P X. { 0 } ) = `' ( x e. U. dom P |-> 0 )
9		cnvxp 5551	. . . . . . . . 9 |- `' ( U. dom P X. { 0 } ) = ( { 0 } X. U. dom P )
10	8, 9	eqtr3i 2646	. . . . . . . 8 |- `' ( x e. U. dom P |-> 0 ) = ( { 0 } X. U. dom P )
11	10	imaeq1i 5463	. . . . . . 7 |- ( `' ( x e. U. dom P |-> 0 ) " y ) = ( ( { 0 } X. U. dom P ) " y )
12		df-ima 5127	. . . . . . 7 |- ( ( { 0 } X. U. dom P ) " y ) = ran ( ( { 0 } X. U. dom P ) |` y )
13		df-rn 5125	. . . . . . 7 |- ran ( ( { 0 } X. U. dom P ) |` y ) = dom `' ( ( { 0 } X. U. dom P ) |` y )
14	11, 12, 13	3eqtri 2648	. . . . . 6 |- ( `' ( x e. U. dom P |-> 0 ) " y ) = dom `' ( ( { 0 } X. U. dom P ) |` y )
15		df-res 5126	. . . . . . . . 9 |- ( ( { 0 } X. U. dom P ) |` y ) = ( ( { 0 } X. U. dom P ) i^i ( y X. _V ) )
16		inxp 5254	. . . . . . . . 9 |- ( ( { 0 } X. U. dom P ) i^i ( y X. _V ) ) = ( ( { 0 } i^i y ) X. ( U. dom P i^i _V ) )
17		inv1 3970	. . . . . . . . . 10 |- ( U. dom P i^i _V ) = U. dom P
18	17	xpeq2i 5136	. . . . . . . . 9 |- ( ( { 0 } i^i y ) X. ( U. dom P i^i _V ) ) = ( ( { 0 } i^i y ) X. U. dom P )
19	15, 16, 18	3eqtri 2648	. . . . . . . 8 |- ( ( { 0 } X. U. dom P ) |` y ) = ( ( { 0 } i^i y ) X. U. dom P )
20	19	cnveqi 5297	. . . . . . 7 |- `' ( ( { 0 } X. U. dom P ) |` y ) = `' ( ( { 0 } i^i y ) X. U. dom P )
21	20	dmeqi 5325	. . . . . 6 |- dom `' ( ( { 0 } X. U. dom P ) |` y ) = dom `' ( ( { 0 } i^i y ) X. U. dom P )
22		cnvxp 5551	. . . . . . 7 |- `' ( ( { 0 } i^i y ) X. U. dom P ) = ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) )
23	22	dmeqi 5325	. . . . . 6 |- dom `' ( ( { 0 } i^i y ) X. U. dom P ) = dom ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) )
24	14, 21, 23	3eqtri 2648	. . . . 5 |- ( `' ( x e. U. dom P |-> 0 ) " y ) = dom ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) )
25		xpeq2 5129	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { 0 } i^i y ) = (/) -> ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) ) = ( U. dom P X. (/) ) )
26		xp0 5552	. . . . . . . . . 10 |- ( U. dom P X. (/) ) = (/)
27	25, 26	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( { 0 } i^i y ) = (/) -> ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) ) = (/) )
28	27	dmeqd 5326	. . . . . . . 8 |- ( ( { 0 } i^i y ) = (/) -> dom ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) ) = dom (/) )
29		dm0 5339	. . . . . . . 8 |- dom (/) = (/)
30	28, 29	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( { 0 } i^i y ) = (/) -> dom ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) ) = (/) )
31	30	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { 0 } i^i y ) = (/) ) -> dom ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) ) = (/) )
32		0rrv.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. Prob )
33		domprobsiga 30473	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prob -> dom P e. U. ran sigAlgebra )
34		0elsiga 30177	. . . . . . . 8 |- ( dom P e. U. ran sigAlgebra -> (/) e. dom P )
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> (/) e. dom P )
36	35	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { 0 } i^i y ) = (/) ) -> (/) e. dom P )
37	31, 36	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( { 0 } i^i y ) = (/) ) -> dom ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) ) e. dom P )
38	24, 37	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( { 0 } i^i y ) = (/) ) -> ( `' ( x e. U. dom P |-> 0 ) " y ) e. dom P )
39		dmxp 5344	. . . . . . 7 |- ( ( { 0 } i^i y ) =/= (/) -> dom ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) ) = U. dom P )
40	39	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { 0 } i^i y ) =/= (/) ) -> dom ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) ) = U. dom P )
41	32	unveldomd 30477	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. dom P e. dom P )
42	41	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { 0 } i^i y ) =/= (/) ) -> U. dom P e. dom P )
43	40, 42	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( { 0 } i^i y ) =/= (/) ) -> dom ( U. dom P X. ( { 0 } i^i y ) ) e. dom P )
44	24, 43	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( { 0 } i^i y ) =/= (/) ) -> ( `' ( x e. U. dom P |-> 0 ) " y ) e. dom P )
45	38, 44	pm2.61dane 2881	. . 3 |- ( ph -> ( `' ( x e. U. dom P |-> 0 ) " y ) e. dom P )
46	45	ralrimivw 2967	. 2 |- ( ph -> A. y e. 𝔅ℝ ( `' ( x e. U. dom P |-> 0 ) " y ) e. dom P )
47	32	isrrvv 30505	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. U. dom P |-> 0 ) e. (rRndVar ` P ) <-> ( ( x e. U. dom P |-> 0 ) : U. dom P --> RR /\ A. y e. 𝔅ℝ ( `' ( x e. U. dom P |-> 0 ) " y ) e. dom P ) ) )
48	6, 46, 47	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( x e. U. dom P |-> 0 ) e. (rRndVar ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   0cc0 9936  sigAlgebracsiga 30170  𝔅_ℝcbrsiga 30244  Probcprb 30469  rRndVarcrrv 30502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-esum 30090  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245  df-meas 30259  df-mbfm 30313  df-prob 30470  df-rrv 30503

This theorem is referenced by: (None)