Theorem isrrvv 30505

Description: Elementhood to the set of real-valued random variables with respect to the probability P. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isrrvv.1	|- ( ph -> P e. Prob )

Assertion

Ref	Expression
isrrvv	|- ( ph -> ( X e. (rRndVar ` P ) <-> ( X : U. dom P --> RR /\ A. y e. 𝔅ℝ ( `' X " y ) e. dom P ) ) )

Distinct variable groups:   y, P   y, X

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem isrrvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrrvv.1	. . 3 |- ( ph -> P e. Prob )
2	1	rrvmbfm 30504	. 2 |- ( ph -> ( X e. (rRndVar ` P ) <-> X e. ( dom PMblFnM𝔅ℝ ) ) )
3		domprobsiga 30473	. . . 4 |- ( P e. Prob -> dom P e. U. ran sigAlgebra )
4	1, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> dom P e. U. ran sigAlgebra )
5		brsigarn 30247	. . . 4 |- 𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR )
6		elrnsiga 30189	. . . 4 |- (𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR ) -> 𝔅ℝ e. U. ran sigAlgebra )
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> 𝔅ℝ e. U. ran sigAlgebra )
8	4, 7	ismbfm 30314	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( dom PMblFnM𝔅ℝ ) <-> ( X e. ( U.𝔅ℝ ^m U. dom P ) /\ A. y e. 𝔅ℝ ( `' X " y ) e. dom P ) ) )
9		unibrsiga 30249	. . . . . 6 |- U.𝔅ℝ = RR
10	9	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( U.𝔅ℝ ^m U. dom P ) = ( RR ^m U. dom P )
11	10	eleq2i 2693	. . . 4 |- ( X e. ( U.𝔅ℝ ^m U. dom P ) <-> X e. ( RR ^m U. dom P ) )
12		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
13		uniexg 6955	. . . . . 6 |- ( dom P e. U. ran sigAlgebra -> U. dom P e. _V )
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> U. dom P e. _V )
15		elmapg 7870	. . . . 5 |- ( ( RR e. _V /\ U. dom P e. _V ) -> ( X e. ( RR ^m U. dom P ) <-> X : U. dom P --> RR ) )
16	12, 14, 15	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. ( RR ^m U. dom P ) <-> X : U. dom P --> RR ) )
17	11, 16	syl5bb 272	. . 3 |- ( ph -> ( X e. ( U.𝔅ℝ ^m U. dom P ) <-> X : U. dom P --> RR ) )
18	17	anbi1d 741	. 2 |- ( ph -> ( ( X e. ( U.𝔅ℝ ^m U. dom P ) /\ A. y e. 𝔅ℝ ( `' X " y ) e. dom P ) <-> ( X : U. dom P --> RR /\ A. y e. 𝔅ℝ ( `' X " y ) e. dom P ) ) )
19	2, 8, 18	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( X e. (rRndVar ` P ) <-> ( X : U. dom P --> RR /\ A. y e. 𝔅ℝ ( `' X " y ) e. dom P ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935  sigAlgebracsiga 30170  𝔅_ℝcbrsiga 30244  MblFnMcmbfm 30312  Probcprb 30469  rRndVarcrrv 30502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-esum 30090  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245  df-meas 30259  df-mbfm 30313  df-prob 30470  df-rrv 30503

This theorem is referenced by:  rrvvf  30506  rrvfinvima  30512  0rrv  30513  coinfliprv  30544