Theorem addasspi 9717

Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addasspi	|- ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) )

Proof of Theorem addasspi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 9700	. . . 4 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 9700	. . . 4 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 9700	. . . 4 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nnaass 7702	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1368	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
6		addclpi 9714	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )
7		addpiord 9706	. . . . . 6 |- ( ( ( A +N B ) e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +N B ) +o C ) )
8	6, 7	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +N B ) +o C ) )
9		addpiord 9706	. . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
10	9	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A +N B ) +o C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
11	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +o C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
12	8, 11	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
13	12	3impa 1259	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
14		addclpi 9714	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) e. N. )
15		addpiord 9706	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ ( B +N C ) e. N. ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +N C ) ) )
16	14, 15	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +N C ) ) )
17		addpiord 9706	. . . . . . 7 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) = ( B +o C ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +o ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
19	18	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +o ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
20	16, 19	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
21	20	3impb 1260	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) ) )
23		dmaddpi 9712	. . 3 |- dom +N = ( N. X. N. )
24		0npi 9704	. . 3 |- -. (/) e. N.
25	23, 24	ndmovass 6822	. 2 |- ( -. ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) ) )
26	22, 25	pm2.61i 176	1 |- ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) )

Syntax hints:   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   omcom 7065   +o coa 7557   N.cnpi 9666   +N cpli 9667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-ni 9694  df-pli 9695

This theorem is referenced by:  addassnq  9780