Theorem axhvmul0-zf 27849

Description: Derive axiom ax-hvmul0 27867 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
axhil.2	|- U e. CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhvmul0-zf	|- ( A e. ~H -> ( 0 .h A ) = 0h )

Proof of Theorem axhvmul0-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 |- U e. CHilOLD
2		df-hba 27826	. . . 4 |- ~H = ( BaseSet ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
3		axhil.1	. . . . 5 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
4	3	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
5	2, 4	eqtr4i 2647	. . 3 |- ~H = ( BaseSet ` U )
6	1	hlnvi 27748	. . . 4 |- U e. NrmCVec
7	3, 6	h2hsm 27832	. . 3 |- .h = ( .sOLD ` U )
8		df-h0v 27827	. . . 4 |- 0h = ( 0vec ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
9	3	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( 0vec ` U ) = ( 0vec ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
10	8, 9	eqtr4i 2647	. . 3 |- 0h = ( 0vec ` U )
11	5, 7, 10	hlmul0 27765	. 2 |- ( ( U e. CHilOLD /\ A e. ~H ) -> ( 0 .h A ) = 0h )
12	1, 11	mpan 706	1 |- ( A e. ~H -> ( 0 .h A ) = 0h )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   BaseSetcba 27441   0veccn0v 27443   CHilOLDchlo 27741   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780   0hc0v 27781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-cbn 27719  df-hlo 27742  df-hba 27826  df-h0v 27827

This theorem is referenced by: (None)