Theorem bndrank 8704

Description: Any class whose elements have bounded rank is a set. Proposition 9.19 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
bndrank	|- ( E. x e. On A. y e. A ( rank ` y ) C_ x -> A e. _V )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem bndrank

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 8658	. . . . . . . 8 |- ( rank ` y ) e. On
2	1	onordi 5832	. . . . . . 7 |- Ord ( rank ` y )
3		eloni 5733	. . . . . . 7 |- ( x e. On -> Ord x )
4		ordsucsssuc 7023	. . . . . . 7 |- ( ( Ord ( rank ` y ) /\ Ord x ) -> ( ( rank ` y ) C_ x <-> suc ( rank ` y ) C_ suc x ) )
5	2, 3, 4	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( x e. On -> ( ( rank ` y ) C_ x <-> suc ( rank ` y ) C_ suc x ) )
6	1	onsuci 7038	. . . . . . 7 |- suc ( rank ` y ) e. On
7		suceloni 7013	. . . . . . 7 |- ( x e. On -> suc x e. On )
8		r1ord3 8645	. . . . . . 7 |- ( ( suc ( rank ` y ) e. On /\ suc x e. On ) -> ( suc ( rank ` y ) C_ suc x -> ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) C_ ( R1 ` suc x ) ) )
9	6, 7, 8	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( x e. On -> ( suc ( rank ` y ) C_ suc x -> ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) C_ ( R1 ` suc x ) ) )
10	5, 9	sylbid 230	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( ( rank ` y ) C_ x -> ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) C_ ( R1 ` suc x ) ) )
11		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
12	11	rankid 8696	. . . . 5 |- y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) )
13		ssel 3597	. . . . 5 |- ( ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) C_ ( R1 ` suc x ) -> ( y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -> y e. ( R1 ` suc x ) ) )
14	10, 12, 13	syl6mpi 67	. . . 4 |- ( x e. On -> ( ( rank ` y ) C_ x -> y e. ( R1 ` suc x ) ) )
15	14	ralimdv 2963	. . 3 |- ( x e. On -> ( A. y e. A ( rank ` y ) C_ x -> A. y e. A y e. ( R1 ` suc x ) ) )
16		dfss3 3592	. . . 4 |- ( A C_ ( R1 ` suc x ) <-> A. y e. A y e. ( R1 ` suc x ) )
17		fvex 6201	. . . . 5 |- ( R1 ` suc x ) e. _V
18	17	ssex 4802	. . . 4 |- ( A C_ ( R1 ` suc x ) -> A e. _V )
19	16, 18	sylbir 225	. . 3 |- ( A. y e. A y e. ( R1 ` suc x ) -> A e. _V )
20	15, 19	syl6 35	. 2 |- ( x e. On -> ( A. y e. A ( rank ` y ) C_ x -> A e. _V ) )
21	20	rexlimiv 3027	1 |- ( E. x e. On A. y e. A ( rank ` y ) C_ x -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888   R1cr1 8625   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  unbndrank  8705  scottex  8748