Theorem cdjreui 29291

Description: A member of the sum of disjoint subspaces has a unique decomposition. Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdjreu.1	|- A e. SH
cdjreu.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
cdjreui	|- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem cdjreui

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdjreu.1	. . . . 5 |- A e. SH
2		cdjreu.2	. . . . 5 |- B e. SH
3	1, 2	shseli 28175	. . . 4 |- ( C e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )
4	3	biimpi 206	. . 3 |- ( C e. ( A +H B ) -> E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )
5		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. w e. B ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) <-> ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) )
6		eqtr2 2642	. . . . . . 7 |- ( ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> ( x +h y ) = ( z +h w ) )
7	1	sheli 28071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> x e. ~H )
8	2	sheli 28071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. B -> y e. ~H )
9	7, 8	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x e. ~H /\ y e. ~H ) )
10	1	sheli 28071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. A -> z e. ~H )
11	2	sheli 28071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> w e. ~H )
12	10, 11	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A /\ w e. B ) -> ( z e. ~H /\ w e. ~H ) )
13		hvaddsub4 27935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( z e. ~H /\ w e. ~H ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
14	9, 12, 13	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( z e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
15	14	an4s 869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
16	15	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
17		shsubcl 28077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. SH /\ w e. B /\ y e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
18	2, 17	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. B /\ y e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
19	18	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. B /\ w e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
20		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. B <-> ( w -h y ) e. B ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ w e. B ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. B ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. B ) )
23		shsubcl 28077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. SH /\ x e. A /\ z e. A ) -> ( x -h z ) e. A )
24	1, 23	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( x -h z ) e. A )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( x -h z ) e. A )
26	22, 25	jctild 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) ) )
27	26	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) ) )
28		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x -h z ) e. ( A i^i B ) <-> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) )
29		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> ( ( x -h z ) e. ( A i^i B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
30	28, 29	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> ( ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
31	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
32	27, 31	sylibd 229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. 0H ) )
33		elch0 28111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x -h z ) e. 0H <-> ( x -h z ) = 0h )
34		hvsubeq0 27925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x -h z ) = 0h <-> x = z ) )
35	33, 34	syl5bb 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
36	7, 10, 35	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
37	36	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
38	32, 37	sylibd 229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> x = z ) )
39	16, 38	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) -> x = z ) )
40	6, 39	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
41	40	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( E. y e. B E. w e. B ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
42	5, 41	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
43	42	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
44	4, 43	anim12i 590	. 2 |- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) /\ A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) ) )
45		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x +h y ) = ( z +h y ) )
46	45	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( x = z -> ( C = ( x +h y ) <-> C = ( z +h y ) ) )
47	46	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( x = z -> ( E. y e. B C = ( x +h y ) <-> E. y e. B C = ( z +h y ) ) )
48		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( z +h y ) = ( z +h w ) )
49	48	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( y = w -> ( C = ( z +h y ) <-> C = ( z +h w ) ) )
50	49	cbvrexv 3172	. . . 4 |- ( E. y e. B C = ( z +h y ) <-> E. w e. B C = ( z +h w ) )
51	47, 50	syl6bb 276	. . 3 |- ( x = z -> ( E. y e. B C = ( x +h y ) <-> E. w e. B C = ( z +h w ) ) )
52	51	reu4 3400	. 2 |- ( E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) <-> ( E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) /\ A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) ) )
53	44, 52	sylibr 224	1 |- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   i^i cin 3573  (class class class)co 6650   ~Hchil 27776   +h cva 27777   0hc0v 27781   -h cmv 27782   SHcsh 27785   +H cph 27788   0Hc0h 27792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-ch0 28110  df-shs 28167

This theorem is referenced by:  cdj3lem2  29294