Theorem cdj1i 29292

Description: Two ways to express " A and B are completely disjoint subspaces." (1) => (2) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 21-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj1.1	|- A e. SH
cdj1.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
cdj1i	|- ( E. w e. RR ( 0 < w /\ A. y e. A A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 < x /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> x <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   x, v, B, y, z, w

Allowed substitution hint:   A( v)

Proof of Theorem cdj1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0 10493	. . . . . . 7 |- ( ( w e. RR /\ 0 < w ) -> w =/= 0 )
2		rereccl 10743	. . . . . . 7 |- ( ( w e. RR /\ w =/= 0 ) -> ( 1 / w ) e. RR )
3	1, 2	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( w e. RR /\ 0 < w ) -> ( 1 / w ) e. RR )
4	3	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( w e. RR /\ ( 0 < w /\ A. y e. A A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) ) ) -> ( 1 / w ) e. RR )
5		recgt0 10867	. . . . . 6 |- ( ( w e. RR /\ 0 < w ) -> 0 < ( 1 / w ) )
6	5	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( w e. RR /\ ( 0 < w /\ A. y e. A A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) ) ) -> 0 < ( 1 / w ) )
7		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> 1 e. RR )
8		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
9		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -u 1 e. CC
10		cdj1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- B e. SH
11	10	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. B -> z e. ~H )
12		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -u 1 e. CC /\ z e. ~H ) -> ( -u 1 .h z ) e. ~H )
13	9, 11, 12	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. B -> ( -u 1 .h z ) e. ~H )
14		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -u 1 .h z ) e. ~H -> ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) e. RR )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. B -> ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) e. RR )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) e. RR )
17		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR /\ ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) e. RR ) -> ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) e. RR )
18	8, 16, 17	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) e. RR )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) e. RR )
20		cdj1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- A e. SH
21	20	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. A -> y e. ~H )
22		hvsubcl 27874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( y -h z ) e. ~H )
23	21, 11, 22	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ( y -h z ) e. ~H )
24		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y -h z ) e. ~H -> ( normh ` ( y -h z ) ) e. RR )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ( normh ` ( y -h z ) ) e. RR )
26		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w e. RR /\ ( normh ` ( y -h z ) ) e. RR ) -> ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) e. RR )
27	25, 26	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. RR /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) e. RR )
28	27	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) e. RR )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) e. RR )
30		normge0 27983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u 1 .h z ) e. ~H -> 0 <_ ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) )
31	13, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. B -> 0 <_ ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) )
32		addge01 10538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. RR /\ ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) <-> 1 <_ ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) ) )
33	8, 32	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) e. RR -> ( 0 <_ ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) <-> 1 <_ ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) ) )
34	33	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) -> 1 <_ ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) )
35	15, 31, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. B -> 1 <_ ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) )
36	35	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> 1 <_ ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) )
37		shmulcl 28075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( B e. SH /\ -u 1 e. CC /\ z e. B ) -> ( -u 1 .h z ) e. B )
38	10, 9, 37	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. B -> ( -u 1 .h z ) e. B )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v = ( -u 1 .h z ) -> ( normh ` v ) = ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) )
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = ( -u 1 .h z ) -> ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) = ( ( normh ` y ) + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) )
41		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = ( -u 1 .h z ) -> ( y +h v ) = ( y +h ( -u 1 .h z ) ) )
42	41	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v = ( -u 1 .h z ) -> ( normh ` ( y +h v ) ) = ( normh ` ( y +h ( -u 1 .h z ) ) ) )
43	42	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = ( -u 1 .h z ) -> ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) = ( w x. ( normh ` ( y +h ( -u 1 .h z ) ) ) ) )
44	40, 43	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = ( -u 1 .h z ) -> ( ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h ( -u 1 .h z ) ) ) ) ) )
45	44	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -u 1 .h z ) e. B -> ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) -> ( ( normh ` y ) + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h ( -u 1 .h z ) ) ) ) ) )
46	38, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. B -> ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) -> ( ( normh ` y ) + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h ( -u 1 .h z ) ) ) ) ) )
47	46	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. B /\ A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) ) -> ( ( normh ` y ) + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h ( -u 1 .h z ) ) ) ) )
48	47	ad2ant2lr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> ( ( normh ` y ) + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h ( -u 1 .h z ) ) ) ) )
49		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 = ( normh ` y ) -> ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) = ( ( normh ` y ) + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) )
50	49	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) = ( ( normh ` y ) + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) )
51	50	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) = ( ( normh ` y ) + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) )
52		hvsubval 27873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( y -h z ) = ( y +h ( -u 1 .h z ) ) )
53	21, 11, 52	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ( y -h z ) = ( y +h ( -u 1 .h z ) ) )
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ( normh ` ( y -h z ) ) = ( normh ` ( y +h ( -u 1 .h z ) ) ) )
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) = ( w x. ( normh ` ( y +h ( -u 1 .h z ) ) ) ) )
56	55	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) = ( w x. ( normh ` ( y +h ( -u 1 .h z ) ) ) ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) = ( w x. ( normh ` ( y +h ( -u 1 .h z ) ) ) ) )
58	48, 51, 57	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> ( 1 + ( normh ` ( -u 1 .h z ) ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) )
59	7, 19, 29, 36, 58	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> 1 <_ ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) )
60	59	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w e. RR /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> 1 <_ ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) )
61	60	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> 1 <_ ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) )
62		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> w e. RR )
63	23	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( y -h z ) e. ~H )
64	63, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( normh ` ( y -h z ) ) e. RR )
65	62, 64, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) e. RR )
66		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> 0 < w )
67		lediv1 10888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) e. RR /\ ( w e. RR /\ 0 < w ) ) -> ( 1 <_ ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) <-> ( 1 / w ) <_ ( ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) / w ) ) )
68	8, 67	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) e. RR /\ ( w e. RR /\ 0 < w ) ) -> ( 1 <_ ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) <-> ( 1 / w ) <_ ( ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) / w ) ) )
69	65, 62, 66, 68	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( 1 <_ ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) <-> ( 1 / w ) <_ ( ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) / w ) ) )
70	61, 69	sylibd 229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( 1 / w ) <_ ( ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) / w ) ) )
71	70	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> ( 1 / w ) <_ ( ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) / w ) )
72	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ( normh ` ( y -h z ) ) e. CC )
73	72	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( normh ` ( y -h z ) ) e. CC )
74		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. RR -> w e. CC )
75	74	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> w e. CC )
76	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> w =/= 0 )
77	73, 75, 76	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) -> ( ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) / w ) = ( normh ` ( y -h z ) ) )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> ( ( w x. ( normh ` ( y -h z ) ) ) / w ) = ( normh ` ( y -h z ) ) )
79	71, 78	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) /\ z e. B ) /\ ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) ) -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) )
80	79	exp43 640	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) -> ( z e. B -> ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) -> ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) ) )
81	80	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) -> ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) -> ( z e. B -> ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) ) )
82	81	ralrimdv 2968	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. RR /\ 0 < w ) /\ y e. A ) -> ( A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) -> A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) )
83	82	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ( w e. RR /\ 0 < w ) -> ( A. y e. A A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) -> A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) )
84	83	impr 649	. . . . 5 |- ( ( w e. RR /\ ( 0 < w /\ A. y e. A A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) ) ) -> A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) )
85	4, 6, 84	jca32 558	. . . 4 |- ( ( w e. RR /\ ( 0 < w /\ A. y e. A A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) ) ) -> ( ( 1 / w ) e. RR /\ ( 0 < ( 1 / w ) /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) ) )
86	85	ex 450	. . 3 |- ( w e. RR -> ( ( 0 < w /\ A. y e. A A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) ) -> ( ( 1 / w ) e. RR /\ ( 0 < ( 1 / w ) /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) ) ) )
87		breq2 4657	. . . . 5 |- ( x = ( 1 / w ) -> ( 0 < x <-> 0 < ( 1 / w ) ) )
88		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = ( 1 / w ) -> ( x <_ ( normh ` ( y -h z ) ) <-> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) )
89	88	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = ( 1 / w ) -> ( ( ( normh ` y ) = 1 -> x <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) )
90	89	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( x = ( 1 / w ) -> ( A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> x <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) <-> A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) )
91	87, 90	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = ( 1 / w ) -> ( ( 0 < x /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> x <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) <-> ( 0 < ( 1 / w ) /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) ) )
92	91	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( 1 / w ) e. RR /\ ( 0 < ( 1 / w ) /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> ( 1 / w ) <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 < x /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> x <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) )
93	86, 92	syl6 35	. 2 |- ( w e. RR -> ( ( 0 < w /\ A. y e. A A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 < x /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> x <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) ) )
94	93	rexlimiv 3027	1 |- ( E. w e. RR ( 0 < w /\ A. y e. A A. v e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` v ) ) <_ ( w x. ( normh ` ( y +h v ) ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 < x /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) = 1 -> x <_ ( normh ` ( y -h z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780   -h cmv 27782   SHcsh 27785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-sh 28064

This theorem is referenced by: (None)