Theorem clsk3nimkb 38338

Description: If the base set is not empty, axiom K3 does not imply KB. An concrete example with a pseudo-closure function of k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) is given. (Contributed by RP, 16-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clsk3nimkb	|- -. A. b A. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) -> A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) )

Distinct variable group:   k, b, t, s

Proof of Theorem clsk3nimkb

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7567	. . . . . 6 |- 1o e. On
2	1	elexi 3213	. . . . 5 |- 1o e. _V
3		1n0 7575	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
4		nelsn 4212	. . . . . 6 |- ( 1o =/= (/) -> -. 1o e. { (/) } )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. 1o e. { (/) }
6		eldif 3584	. . . . . 6 |- ( 1o e. ( _V \ { (/) } ) <-> ( 1o e. _V /\ -. 1o e. { (/) } ) )
7		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( 1o e. ( _V \ { (/) } ) -> ( _V \ { (/) } ) =/= (/) )
8	6, 7	sylbir 225	. . . . 5 |- ( ( 1o e. _V /\ -. 1o e. { (/) } ) -> ( _V \ { (/) } ) =/= (/) )
9	2, 5, 8	mp2an 708	. . . 4 |- ( _V \ { (/) } ) =/= (/)
10		r19.2zb 4061	. . . 4 |- ( ( _V \ { (/) } ) =/= (/) <-> ( A. b e. ( _V \ { (/) } ) E. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) -> E. b e. ( _V \ { (/) } ) E. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) ) )
11	9, 10	mpbi 220	. . 3 |- ( A. b e. ( _V \ { (/) } ) E. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) -> E. b e. ( _V \ { (/) } ) E. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) )
12		rexex 3002	. . 3 |- ( E. b e. ( _V \ { (/) } ) E. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) -> E. b E. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) )
13		rexanali 2998	. . . . 5 |- ( E. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) <-> -. A. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) -> A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) )
14	13	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. b E. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) <-> E. b -. A. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) -> A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) )
15		exnal 1754	. . . 4 |- ( E. b -. A. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) -> A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) <-> -. A. b A. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) -> A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) )
16	14, 15	sylbb 209	. . 3 |- ( E. b E. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) -> -. A. b A. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) -> A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) )
17	11, 12, 16	3syl 18	. 2 |- ( A. b e. ( _V \ { (/) } ) E. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) -> -. A. b A. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) -> A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) )
18		id 22	. . . . . . 7 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> b e. ( _V \ { (/) } ) )
19		difssd 3738	. . . . . . 7 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> ( b \ x ) C_ b )
20	18, 19	sselpwd 4807	. . . . . 6 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> ( b \ x ) e. ~P b )
21	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ x e. ~P b ) -> ( b \ x ) e. ~P b )
22		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) )
23	21, 22	fmptd 6385	. . . 4 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) : ~P b --> ~P b )
24		pwexg 4850	. . . . 5 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> ~P b e. _V )
25	24, 24	elmapd 7871	. . . 4 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> ( ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) e. ( ~P b ^m ~P b ) <-> ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) : ~P b --> ~P b ) )
26	23, 25	mpbird 247	. . 3 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) e. ( ~P b ^m ~P b ) )
27		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) )
28		difeq2 3722	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( b \ x ) = ( b \ z ) )
29	28	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) = ( z e. ~P b |-> ( b \ z ) )
30	27, 29	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> k = ( z e. ~P b |-> ( b \ z ) ) )
31		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( s u. t ) -> ( b \ z ) = ( b \ ( s u. t ) ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) /\ z = ( s u. t ) ) -> ( b \ z ) = ( b \ ( s u. t ) ) )
33		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> b e. ( _V \ { (/) } ) )
34		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> s e. ~P b )
35	34	elpwid 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> s C_ b )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> t e. ~P b )
37	36	elpwid 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> t C_ b )
38	35, 37	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( s u. t ) C_ b )
39	33, 38	sselpwd 4807	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( s u. t ) e. ~P b )
40		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- b e. _V
41	40	difexi 4809	. . . . . . . . 9 |- ( b \ ( s u. t ) ) e. _V
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( b \ ( s u. t ) ) e. _V )
43	30, 32, 39, 42	fvmptd 6288	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( k ` ( s u. t ) ) = ( b \ ( s u. t ) ) )
44		difeq2 3722	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = s -> ( b \ z ) = ( b \ s ) )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) /\ z = s ) -> ( b \ z ) = ( b \ s ) )
46	40	difexi 4809	. . . . . . . . . . 11 |- ( b \ s ) e. _V
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( b \ s ) e. _V )
48	30, 45, 34, 47	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( k ` s ) = ( b \ s ) )
49		difeq2 3722	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = t -> ( b \ z ) = ( b \ t ) )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) /\ z = t ) -> ( b \ z ) = ( b \ t ) )
51	40	difexi 4809	. . . . . . . . . . 11 |- ( b \ t ) e. _V
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( b \ t ) e. _V )
53	30, 50, 36, 52	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( k ` t ) = ( b \ t ) )
54	48, 53	uneq12d 3768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = ( ( b \ s ) u. ( b \ t ) ) )
55		difindi 3881	. . . . . . . 8 |- ( b \ ( s i^i t ) ) = ( ( b \ s ) u. ( b \ t ) )
56	54, 55	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = ( b \ ( s i^i t ) ) )
57	43, 56	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) <-> ( b \ ( s u. t ) ) C_ ( b \ ( s i^i t ) ) ) )
58	57	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) -> ( A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) <-> A. t e. ~P b ( b \ ( s u. t ) ) C_ ( b \ ( s i^i t ) ) ) )
59	58	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) -> ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) <-> A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( b \ ( s u. t ) ) C_ ( b \ ( s i^i t ) ) ) )
60	56	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b <-> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) )
61	60	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) /\ t e. ~P b ) -> ( ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) <-> ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) ) )
62	61	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) /\ s e. ~P b ) -> ( A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) <-> A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) ) )
63	62	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) -> ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) <-> A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) ) )
64	63	notbid 308	. . . 4 |- ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) -> ( -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) <-> -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) ) )
65	59, 64	anbi12d 747	. . 3 |- ( ( b e. ( _V \ { (/) } ) /\ k = ( x e. ~P b |-> ( b \ x ) ) ) -> ( ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) <-> ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( b \ ( s u. t ) ) C_ ( b \ ( s i^i t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) ) ) )
66		pwidg 4173	. . . . . 6 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> b e. ~P b )
67		ssid 3624	. . . . . . 7 |- b C_ b
68	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> b C_ b )
69		eldifsni 4320	. . . . . . 7 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> b =/= (/) )
70	69	neneqd 2799	. . . . . 6 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> -. b = (/) )
71		uneq1 3760	. . . . . . . . . 10 |- ( s = b -> ( s u. t ) = ( b u. t ) )
72	71	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( s = b -> ( ( s u. t ) = b <-> ( b u. t ) = b ) )
73		ssequn2 3786	. . . . . . . . 9 |- ( t C_ b <-> ( b u. t ) = b )
74	72, 73	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 |- ( s = b -> ( ( s u. t ) = b <-> t C_ b ) )
75		ineq1 3807	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = b -> ( s i^i t ) = ( b i^i t ) )
76	75	difeq2d 3728	. . . . . . . . . 10 |- ( s = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = ( b \ ( b i^i t ) ) )
77	76	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( s = b -> ( ( b \ ( s i^i t ) ) = b <-> ( b \ ( b i^i t ) ) = b ) )
78	77	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( s = b -> ( -. ( b \ ( s i^i t ) ) = b <-> -. ( b \ ( b i^i t ) ) = b ) )
79	74, 78	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( s = b -> ( ( ( s u. t ) = b /\ -. ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) <-> ( t C_ b /\ -. ( b \ ( b i^i t ) ) = b ) ) )
80		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( t = b -> ( t C_ b <-> b C_ b ) )
81		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = b -> ( b i^i t ) = ( b i^i b ) )
82		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b i^i b ) = b
83	81, 82	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = b -> ( b i^i t ) = b )
84	83	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = b -> ( b \ ( b i^i t ) ) = ( b \ b ) )
85		difid 3948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b \ b ) = (/)
86	84, 85	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = b -> ( b \ ( b i^i t ) ) = (/) )
87	86	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( t = b -> ( ( b \ ( b i^i t ) ) = b <-> (/) = b ) )
88		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) = b <-> b = (/) )
89	87, 88	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( t = b -> ( ( b \ ( b i^i t ) ) = b <-> b = (/) ) )
90	89	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( t = b -> ( -. ( b \ ( b i^i t ) ) = b <-> -. b = (/) ) )
91	80, 90	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( t = b -> ( ( t C_ b /\ -. ( b \ ( b i^i t ) ) = b ) <-> ( b C_ b /\ -. b = (/) ) ) )
92	79, 91	rspc2ev 3324	. . . . . 6 |- ( ( b e. ~P b /\ b e. ~P b /\ ( b C_ b /\ -. b = (/) ) ) -> E. s e. ~P b E. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b /\ -. ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) )
93	66, 66, 68, 70, 92	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> E. s e. ~P b E. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b /\ -. ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) )
94		rexanali 2998	. . . . . . 7 |- ( E. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b /\ -. ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) <-> -. A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) )
95	94	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. s e. ~P b E. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b /\ -. ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) <-> E. s e. ~P b -. A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) )
96		rexnal 2995	. . . . . 6 |- ( E. s e. ~P b -. A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) <-> -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) )
97	95, 96	sylbb 209	. . . . 5 |- ( E. s e. ~P b E. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b /\ -. ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) -> -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) )
98	93, 97	syl 17	. . . 4 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) )
99		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( s i^i t ) C_ s
100		ssun1 3776	. . . . . . 7 |- s C_ ( s u. t )
101	99, 100	sstri 3612	. . . . . 6 |- ( s i^i t ) C_ ( s u. t )
102		sscon 3744	. . . . . 6 |- ( ( s i^i t ) C_ ( s u. t ) -> ( b \ ( s u. t ) ) C_ ( b \ ( s i^i t ) ) )
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( b \ ( s u. t ) ) C_ ( b \ ( s i^i t ) )
104	103	rgen2w 2925	. . . 4 |- A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( b \ ( s u. t ) ) C_ ( b \ ( s i^i t ) )
105	98, 104	jctil 560	. . 3 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( b \ ( s u. t ) ) C_ ( b \ ( s i^i t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( b \ ( s i^i t ) ) = b ) ) )
106	26, 65, 105	rspcedvd 3317	. 2 |- ( b e. ( _V \ { (/) } ) -> E. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) /\ -. A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) ) )
107	17, 106	mprg 2926	1 |- -. A. b A. k e. ( ~P b ^m ~P b ) ( A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( k ` ( s u. t ) ) C_ ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) -> A. s e. ~P b A. t e. ~P b ( ( s u. t ) = b -> ( ( k ` s ) u. ( k ` t ) ) = b ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   Oncon0 5723   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1o 7560  df-map 7859

This theorem is referenced by: (None)