Theorem cncfperiod 40092

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfperiod.a	|- ( ph -> A C_ CC )
cncfperiod.t	|- ( ph -> T e. RR )
cncfperiod.b	|- B = { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) }
cncfperiod.f	|- ( ph -> F : dom F --> CC )
cncfperiod.cssdmf	|- ( ph -> B C_ dom F )
cncfperiod.fper	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
cncfperiod.fcn	|- ( ph -> ( F |` A ) e. ( A -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
cncfperiod	|- ( ph -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, F, y   x, T, y   ph, x, y

Proof of Theorem cncfperiod

Dummy variables a b w z v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfperiod.f	. . 3 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
2		cncfperiod.cssdmf	. . 3 |- ( ph -> B C_ dom F )
3	1, 2	fssresd 6071	. 2 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> CC )
4		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
5		cncfperiod.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) }
6	4, 5	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) } )
7		rabid 3116	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) } <-> ( x e. CC /\ E. y e. A x = ( y + T ) ) )
8	6, 7	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x e. CC /\ E. y e. A x = ( y + T ) ) )
9	8	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. A x = ( y + T ) )
10		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y + T ) -> ( x - T ) = ( ( y + T ) - T ) )
11	10	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A /\ x = ( y + T ) ) -> ( x - T ) = ( ( y + T ) - T ) )
12		cncfperiod.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ CC )
13	12	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. CC )
14		cncfperiod.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> T e. RR )
15	14	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T e. CC )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> T e. CC )
17	13, 16	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( y + T ) - T ) = y )
18	17	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A ) -> ( ( y + T ) - T ) = y )
19	18	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A /\ x = ( y + T ) ) -> ( ( y + T ) - T ) = y )
20	11, 19	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A /\ x = ( y + T ) ) -> ( x - T ) = y )
21		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A /\ x = ( y + T ) ) -> y e. A )
22	20, 21	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A /\ x = ( y + T ) ) -> ( x - T ) e. A )
23	22	rexlimdv3a 3033	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( E. y e. A x = ( y + T ) -> ( x - T ) e. A ) )
24	9, 23	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x - T ) e. A )
25		cncfperiod.fcn	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` A ) e. ( A -cn-> CC ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( F |` A ) e. ( A -cn-> CC ) )
27	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A C_ CC )
28		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> CC C_ CC )
30		elcncf 22692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( F |` A ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( ( F |` A ) : A --> CC /\ A. a e. A A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` a ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( F |` A ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( ( F |` A ) : A --> CC /\ A. a e. A A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` a ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) ) )
32	26, 31	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( F |` A ) : A --> CC /\ A. a e. A A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` a ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) )
33	32	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. a e. A A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` a ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) )
34		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( x - T ) -> ( a - b ) = ( ( x - T ) - b ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x - T ) -> ( abs ` ( a - b ) ) = ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) )
36	35	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x - T ) -> ( ( abs ` ( a - b ) ) < z <-> ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z ) )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( x - T ) -> ( ( F |` A ) ` a ) = ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) )
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( x - T ) -> ( ( ( F |` A ) ` a ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) = ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x - T ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` a ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) )
40	39	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x - T ) -> ( ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` a ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) )
41	36, 40	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( x - T ) -> ( ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` a ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) )
42	41	rexralbidv 3058	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( x - T ) -> ( E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` a ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) <-> E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) )
43	42	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( a = ( x - T ) -> ( A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` a ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) <-> A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) )
44	43	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( ( x - T ) e. A /\ A. a e. A A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` a ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) -> A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) )
45	24, 33, 44	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) )
46	45	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) )
47		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> w e. RR+ )
48		rspa 2930	. . . . 5 |- ( ( A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) /\ w e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) )
49	46, 47, 48	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) )
50		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) -> ph )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ph )
52		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) -> x e. B )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) -> x e. B )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> x e. B )
55		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> v e. B )
56		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. B -> ( ( F |` B ) ` x ) = ( F ` x ) )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( F |` B ) ` x ) = ( F ` x ) )
58		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) } C_ CC
59	5, 58	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- B C_ CC
60	59	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. B -> x e. CC )
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. CC )
62	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> T e. CC )
63	61, 62	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( x - T ) + T ) = x )
64	63	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x = ( ( x - T ) + T ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) )
66		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ph )
67	66, 24	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ph /\ ( x - T ) e. A ) )
68		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x - T ) -> ( y e. A <-> ( x - T ) e. A ) )
69	68	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x - T ) -> ( ( ph /\ y e. A ) <-> ( ph /\ ( x - T ) e. A ) ) )
70		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x - T ) -> ( y + T ) = ( ( x - T ) + T ) )
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x - T ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) )
72		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x - T ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( x - T ) ) )
73	71, 72	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x - T ) -> ( ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) <-> ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) ) )
74	69, 73	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x - T ) -> ( ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ph /\ ( x - T ) e. A ) -> ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) ) ) )
75		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
76	75	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ y e. A ) ) )
77		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( x + T ) = ( y + T ) )
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` ( y + T ) ) )
79		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
80	78, 79	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) )
81	76, 80	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) ) )
82		cncfperiod.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
83	81, 82	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) )
84	74, 83	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x - T ) e. A -> ( ( ph /\ ( x - T ) e. A ) -> ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) ) )
85	24, 67, 84	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) )
86		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x - T ) e. A -> ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) )
87	24, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) )
88	85, 87	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) = ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) )
89	57, 65, 88	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( F |` B ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) )
90	89	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ v e. B ) -> ( ( F |` B ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) )
91		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = v -> ( x e. B <-> v e. B ) )
92	91	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = v -> ( ( ph /\ x e. B ) <-> ( ph /\ v e. B ) ) )
93		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = v -> ( ( F |` B ) ` x ) = ( ( F |` B ) ` v ) )
94		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = v -> ( x - T ) = ( v - T ) )
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = v -> ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) = ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) )
96	93, 95	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = v -> ( ( ( F |` B ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) <-> ( ( F |` B ) ` v ) = ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) )
97	92, 96	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = v -> ( ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( F |` B ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) ) <-> ( ( ph /\ v e. B ) -> ( ( F |` B ) ` v ) = ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) ) )
98	97, 89	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. B ) -> ( ( F |` B ) ` v ) = ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) )
99	98	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ v e. B ) -> ( ( F |` B ) ` v ) = ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) )
100	90, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B /\ v e. B ) -> ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) = ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) )
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B /\ v e. B ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) ) )
102	51, 54, 55, 101	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) ) )
103	51, 54, 55	jca31 557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) )
104		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( x - v ) ) < z )
105	8	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. CC )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) -> x e. CC )
107	59	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. B -> v e. CC )
108	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) -> v e. CC )
109	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) -> T e. CC )
110	106, 108, 109	nnncan2d 10427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) -> ( ( x - T ) - ( v - T ) ) = ( x - v ) )
111	110	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) -> ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) = ( abs ` ( x - v ) ) )
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) = ( abs ` ( x - v ) ) )
113		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( x - v ) ) < z )
114	112, 113	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z )
115	103, 104, 114	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z )
116	94	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = v -> ( ( x - T ) e. A <-> ( v - T ) e. A ) )
117	92, 116	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = v -> ( ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x - T ) e. A ) <-> ( ( ph /\ v e. B ) -> ( v - T ) e. A ) ) )
118	117, 24	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. B ) -> ( v - T ) e. A )
119	51, 55, 118	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( v - T ) e. A )
120		simpll3 1102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) )
121		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( v - T ) -> ( ( x - T ) - b ) = ( ( x - T ) - ( v - T ) ) )
122	121	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( v - T ) -> ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) = ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) )
123	122	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( v - T ) -> ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z <-> ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z ) )
124		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( v - T ) -> ( ( F |` A ) ` b ) = ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) )
125	124	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( v - T ) -> ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) = ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) )
126	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( v - T ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) ) )
127	126	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( v - T ) -> ( ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) ) < w ) )
128	123, 127	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( v - T ) -> ( ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) ) < w ) ) )
129	128	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v - T ) e. A /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) -> ( ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) ) < w ) )
130	119, 120, 129	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) ) < w ) )
131	115, 130	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` ( v - T ) ) ) ) < w )
132	102, 131	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) ) < w )
133	132	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) -> ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) ) < w ) )
134	133	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) ) -> A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) ) < w ) )
135	134	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> ( z e. RR+ -> ( A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) -> A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) ) < w ) ) ) )
136	135	reximdvai 3015	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> ( E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` A ) ` ( x - T ) ) - ( ( F |` A ) ` b ) ) ) < w ) -> E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) ) < w ) ) )
137	49, 136	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) ) < w ) )
138	137	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. x e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) ) < w ) )
139	59	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> B C_ CC )
140	28	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> CC C_ CC )
141		elcncf 22692	. . 3 |- ( ( B C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) <-> ( ( F |` B ) : B --> CC /\ A. x e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) ) < w ) ) ) )
142	139, 140, 141	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) <-> ( ( F |` B ) : B --> CC /\ A. x e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` B ) ` x ) - ( ( F |` B ) ` v ) ) ) < w ) ) ) )
143	3, 138, 142	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  itgperiod  40197  fourierdlem81  40404