Theorem itgperiod 40197

Description: The integral of a periodic function, with period T stays the same if the domain of integration is shifted. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgperiod.a	|- ( ph -> A e. RR )
itgperiod.b	|- ( ph -> B e. RR )
itgperiod.aleb	|- ( ph -> A <_ B )
itgperiod.t	|- ( ph -> T e. RR+ )
itgperiod.f	|- ( ph -> F : RR --> CC )
itgperiod.fper	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
itgperiod.fcn	|- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
itgperiod	|- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, T   ph, x

Proof of Theorem itgperiod

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgperiod.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		itgperiod.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		itgperiod.t	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR+ )
4	3	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
5		itgperiod.aleb	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ B )
6	1, 2, 4, 5	leadd1dd 10641	. . . 4 |- ( ph -> ( A + T ) <_ ( B + T ) )
7	6	ditgpos 23620	. . 3 |- ( ph -> S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( F ` x ) _d x = S. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x )
8	1, 4	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( A + T ) e. RR )
9	2, 4	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( B + T ) e. RR )
10		itgperiod.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> CC )
11	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> F : RR --> CC )
12	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) e. RR )
13	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( B + T ) e. RR )
14		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
15		eliccre 39728	. . . . . 6 |- ( ( ( A + T ) e. RR /\ ( B + T ) e. RR /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. RR )
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. RR )
17	11, 16	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
18	8, 9, 17	itgioo 23582	. . 3 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x )
19	7, 18	eqtr2d 2657	. 2 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( F ` x ) _d x )
20		eqid 2622	. . . 4 |- ( y e. CC |-> ( y + T ) ) = ( y e. CC |-> ( y + T ) )
21	4	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> T e. CC )
22	20	addccncf 22719	. . . . 5 |- ( T e. CC -> ( y e. CC |-> ( y + T ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
23	21, 22	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( y + T ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
24	1, 2	iccssred 39727	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
25		ax-resscn 9993	. . . . 5 |- RR C_ CC
26	24, 25	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
27	8, 9	iccssred 39727	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) C_ RR )
28	27, 25	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) C_ CC )
29	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) e. RR )
30	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( B + T ) e. RR )
31	24	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. RR )
32	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> T e. RR )
33	31, 32	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) e. RR )
34	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
35		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
36	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
37		elicc2 12238	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
38	34, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
39	35, 38	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) )
40	39	simp2d 1074	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> A <_ y )
41	34, 31, 32, 40	leadd1dd 10641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) <_ ( y + T ) )
42	39	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y <_ B )
43	31, 36, 32, 42	leadd1dd 10641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) <_ ( B + T ) )
44	29, 30, 33, 41, 43	eliccd 39726	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
45	20, 23, 26, 28, 44	cncfmptssg 40083	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) )
46		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w = ( z + T ) <-> x = ( z + T ) ) )
47	46	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) <-> E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) ) )
48		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z + T ) = ( y + T ) )
49	48	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( x = ( z + T ) <-> x = ( y + T ) ) )
50	49	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) <-> E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) )
51	47, 50	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) <-> E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) ) )
52	51	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } = { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) }
53		ffdm 6062	. . . . . . 7 |- ( F : RR --> CC -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ RR ) )
54	10, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ RR ) )
55	54	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
56		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) /\ w = ( z + T ) ) -> w = ( z + T ) )
57	24	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> z e. RR )
58	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> T e. RR )
59	57, 58	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( z + T ) e. RR )
60	59	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) /\ w = ( z + T ) ) -> ( z + T ) e. RR )
61	56, 60	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) /\ w = ( z + T ) ) -> w e. RR )
62	61	rexlimdv3a 3033	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) -> w e. RR ) )
63	62	ralrimivw 2967	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. w e. CC ( E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) -> w e. RR ) )
64		rabss 3679	. . . . . . 7 |- ( { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } C_ RR <-> A. w e. CC ( E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) -> w e. RR ) )
65	63, 64	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } C_ RR )
66		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( F : RR --> CC -> dom F = RR )
67	10, 66	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom F = RR )
68	65, 67	sseqtr4d 3642	. . . . 5 |- ( ph -> { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } C_ dom F )
69		itgperiod.fper	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
70		itgperiod.fcn	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
71	26, 4, 52, 55, 68, 69, 70	cncfperiod 40092	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } ) e. ( { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } -cn-> CC ) )
72	47	elrab 3363	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } <-> ( x e. CC /\ E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) ) )
73		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) ) ) -> E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) )
74		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z ph
75		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z x e. CC
76		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T )
77	75, 76	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z ( x e. CC /\ E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) )
78	74, 77	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ph /\ ( x e. CC /\ E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) ) )
79		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) )
80		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) /\ x = ( z + T ) ) -> x = ( z + T ) )
81	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
82		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> z e. ( A [,] B ) )
83	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
84		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( z e. ( A [,] B ) <-> ( z e. RR /\ A <_ z /\ z <_ B ) ) )
85	81, 83, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( z e. ( A [,] B ) <-> ( z e. RR /\ A <_ z /\ z <_ B ) ) )
86	82, 85	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( z e. RR /\ A <_ z /\ z <_ B ) )
87	86	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> A <_ z )
88	81, 57, 58, 87	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) <_ ( z + T ) )
89	86	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> z <_ B )
90	57, 83, 58, 89	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( z + T ) <_ ( B + T ) )
91	59, 88, 90	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( ( z + T ) e. RR /\ ( A + T ) <_ ( z + T ) /\ ( z + T ) <_ ( B + T ) ) )
92	91	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) /\ x = ( z + T ) ) -> ( ( z + T ) e. RR /\ ( A + T ) <_ ( z + T ) /\ ( z + T ) <_ ( B + T ) ) )
93	8	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) /\ x = ( z + T ) ) -> ( A + T ) e. RR )
94	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) /\ x = ( z + T ) ) -> ( B + T ) e. RR )
95		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A + T ) e. RR /\ ( B + T ) e. RR ) -> ( ( z + T ) e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) <-> ( ( z + T ) e. RR /\ ( A + T ) <_ ( z + T ) /\ ( z + T ) <_ ( B + T ) ) ) )
96	93, 94, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) /\ x = ( z + T ) ) -> ( ( z + T ) e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) <-> ( ( z + T ) e. RR /\ ( A + T ) <_ ( z + T ) /\ ( z + T ) <_ ( B + T ) ) ) )
97	92, 96	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) /\ x = ( z + T ) ) -> ( z + T ) e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
98	80, 97	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) /\ x = ( z + T ) ) -> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
99	98	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. ( A [,] B ) -> ( x = ( z + T ) -> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) ) ) -> ( z e. ( A [,] B ) -> ( x = ( z + T ) -> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) ) )
101	78, 79, 100	rexlimd 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) ) ) -> ( E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) -> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) )
102	73, 101	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) ) ) -> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
103	72, 102	sylan2b 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } ) -> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
104	16	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. CC )
105	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A e. RR )
106	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> B e. RR )
107	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> T e. RR )
108	16, 107	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) e. RR )
109	1	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. CC )
110	109, 21	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A + T ) - T ) = A )
111	110	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A = ( ( A + T ) - T ) )
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A = ( ( A + T ) - T ) )
113		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A + T ) e. RR /\ ( B + T ) e. RR ) -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) <-> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) ) )
114	12, 13, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) <-> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) ) )
115	14, 114	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) )
116	115	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) <_ x )
117	12, 16, 107, 116	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( A + T ) - T ) <_ ( x - T ) )
118	112, 117	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A <_ ( x - T ) )
119	115	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x <_ ( B + T ) )
120	16, 13, 107, 119	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) <_ ( ( B + T ) - T ) )
121	2	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. CC )
122	121, 21	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B + T ) - T ) = B )
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( B + T ) - T ) = B )
124	120, 123	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) <_ B )
125	105, 106, 108, 118, 124	eliccd 39726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) e. ( A [,] B ) )
126	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> T e. CC )
127	104, 126	npcand 10396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( x - T ) + T ) = x )
128	127	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x = ( ( x - T ) + T ) )
129		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x - T ) -> ( z + T ) = ( ( x - T ) + T ) )
130	129	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( x - T ) -> ( x = ( z + T ) <-> x = ( ( x - T ) + T ) ) )
131	130	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x - T ) e. ( A [,] B ) /\ x = ( ( x - T ) + T ) ) -> E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) )
132	125, 128, 131	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) )
133	104, 132, 72	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } )
134	103, 133	impbida 877	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } <-> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) )
135	134	eqrdv 2620	. . . . . 6 |- ( ph -> { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } = ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
136	135	reseq2d 5396	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } ) = ( F |` ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) )
137	135, 68	eqsstr3d 3640	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) C_ dom F )
138	55, 137	feqresmpt 6250	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) = ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` x ) ) )
139	136, 138	eqtr2d 2657	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` x ) ) = ( F |` { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } ) )
140	1, 2, 4	iccshift 39744	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) = { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } )
141	140	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) -cn-> CC ) = ( { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } -cn-> CC ) )
142	71, 139, 141	3eltr4d 2716	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` x ) ) e. ( ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) -cn-> CC ) )
143		ioosscn 39716	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ CC
144	143	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
145		1cnd 10056	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
146		ssid 3624	. . . . . 6 |- CC C_ CC
147	146	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> CC C_ CC )
148	144, 145, 147	constcncfg 40084	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
149		fconstmpt 5163	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 )
150		ioombl 23333	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) e. dom vol
151	150	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. dom vol )
152		ioovolcl 23338	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR )
153	1, 2, 152	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR )
154		iblconst 23584	. . . . . 6 |- ( ( ( A (,) B ) e. dom vol /\ ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR /\ 1 e. CC ) -> ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) e. L^1 )
155	151, 153, 145, 154	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) e. L^1 )
156	149, 155	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. L^1 )
157	148, 156	elind 3798	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. ( ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
158	24	resmptd 5452	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) = ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) )
159	158	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) = ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) )
160	159	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) )
161	25	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
162	161	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
163	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> T e. CC )
164	162, 163	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y + T ) e. CC )
165		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. RR |-> ( y + T ) ) = ( y e. RR |-> ( y + T ) )
166	164, 165	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( y + T ) ) : RR --> CC )
167		ssid 3624	. . . . . . 7 |- RR C_ RR
168	167	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ RR )
169		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
170	169	tgioo2 22606	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
171	169, 170	dvres 23675	. . . . . 6 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( y e. RR |-> ( y + T ) ) : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( A [,] B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
172	161, 166, 168, 24, 171	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
173	160, 172	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
174		iccntr 22624	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
175	1, 2, 174	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
176	175	reseq2d 5396	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
177		reelprrecn 10028	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
178	177	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
179		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
180	178	dvmptid 23720	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
181		0cnd 10033	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 0 e. CC )
182	178, 21	dvmptc 23721	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> T ) ) = ( y e. RR |-> 0 ) )
183	178, 162, 179, 180, 163, 181, 182	dvmptadd 23723	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) = ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) )
184	183	reseq1d 5395	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) |` ( A (,) B ) ) )
185		ioossre 12235	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) C_ RR
186	185	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
187	186	resmptd 5452	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) )
188		1p0e1 11133	. . . . . . 7 |- ( 1 + 0 ) = 1
189	188	mpteq2i 4741	. . . . . 6 |- ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 )
190	189	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
191	184, 187, 190	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
192	173, 176, 191	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
193		fveq2 6191	. . 3 |- ( x = ( y + T ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( y + T ) ) )
194		oveq1 6657	. . 3 |- ( y = A -> ( y + T ) = ( A + T ) )
195		oveq1 6657	. . 3 |- ( y = B -> ( y + T ) = ( B + T ) )
196	1, 2, 5, 45, 142, 157, 192, 193, 194, 195, 8, 9	itgsubsticc 40192	. 2 |- ( ph -> S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( F ` x ) _d x = S__ [ A -> B ] ( ( F ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
197	5	ditgpos 23620	. . 3 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( ( F ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A (,) B ) ( ( F ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
198	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> F : RR --> CC )
199	198, 33	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( y + T ) ) e. CC )
200		1cnd 10056	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> 1 e. CC )
201	199, 200	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F ` ( y + T ) ) x. 1 ) e. CC )
202	1, 2, 201	itgioo 23582	. . 3 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( F ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( ( F ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
203		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( y + T ) = ( x + T ) )
204	203	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` ( x + T ) ) )
205	204	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( F ` ( y + T ) ) x. 1 ) = ( ( F ` ( x + T ) ) x. 1 ) )
206	205	cbvitgv 23543	. . . 4 |- S. ( A [,] B ) ( ( F ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( ( F ` ( x + T ) ) x. 1 ) _d x
207	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> F : RR --> CC )
208	24	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
209	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> T e. RR )
210	208, 209	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x + T ) e. RR )
211	207, 210	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) e. CC )
212	211	mulid1d 10057	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F ` ( x + T ) ) x. 1 ) = ( F ` ( x + T ) ) )
213	212, 69	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F ` ( x + T ) ) x. 1 ) = ( F ` x ) )
214	213	itgeq2dv 23548	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( ( F ` ( x + T ) ) x. 1 ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
215	206, 214	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( ( F ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
216	197, 202, 215	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( ( F ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
217	19, 196, 216	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   S__cdit 23610   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ditg 23611  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by: (None)