Theorem cncfshift 40087

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfshift.a	|- ( ph -> A C_ CC )
cncfshift.t	|- ( ph -> T e. CC )
cncfshift.b	|- B = { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) }
cncfshift.f	|- ( ph -> F e. ( A -cn-> CC ) )
cncfshift.g	|- G = ( x e. B |-> ( F ` ( x - T ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cncfshift	|- ( ph -> G e. ( B -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, F   x, T, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   F( y)   G( x, y)

Proof of Theorem cncfshift

Dummy variables a b v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfshift.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( A -cn-> CC ) )
2		cncff 22696	. . . . . 6 |- ( F e. ( A -cn-> CC ) -> F : A --> CC )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> CC )
4	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> F : A --> CC )
5		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
6		cncfshift.b	. . . . . . . 8 |- B = { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) }
7	5, 6	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) } )
8		rabid 3116	. . . . . . 7 |- ( x e. { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) } <-> ( x e. CC /\ E. y e. A x = ( y + T ) ) )
9	7, 8	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x e. CC /\ E. y e. A x = ( y + T ) ) )
10	9	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. A x = ( y + T ) )
11		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + T ) -> ( x - T ) = ( ( y + T ) - T ) )
12	11	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A /\ x = ( y + T ) ) -> ( x - T ) = ( ( y + T ) - T ) )
13		cncfshift.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ CC )
14	13	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. CC )
15		cncfshift.t	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. CC )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> T e. CC )
17	14, 16	pncand 10393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( y + T ) - T ) = y )
18	17	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A ) -> ( ( y + T ) - T ) = y )
19	18	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A /\ x = ( y + T ) ) -> ( ( y + T ) - T ) = y )
20	12, 19	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A /\ x = ( y + T ) ) -> ( x - T ) = y )
21		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A /\ x = ( y + T ) ) -> y e. A )
22	20, 21	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. A /\ x = ( y + T ) ) -> ( x - T ) e. A )
23	22	rexlimdv3a 3033	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( E. y e. A x = ( y + T ) -> ( x - T ) e. A ) )
24	10, 23	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x - T ) e. A )
25	4, 24	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( F ` ( x - T ) ) e. CC )
26		cncfshift.g	. . 3 |- G = ( x e. B |-> ( F ` ( x - T ) ) )
27	25, 26	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> G : B --> CC )
28	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> F e. ( A -cn-> CC ) )
29	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A C_ CC )
30		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- CC C_ CC
31		elcncf 22692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> CC ) <-> ( F : A --> CC /\ A. a e. A A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` a ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) ) )
32	29, 30, 31	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( F e. ( A -cn-> CC ) <-> ( F : A --> CC /\ A. a e. A A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` a ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) ) )
33	28, 32	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( F : A --> CC /\ A. a e. A A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` a ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) )
34	33	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. a e. A A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` a ) - ( F ` b ) ) ) < w ) )
35		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( x - T ) -> ( a - b ) = ( ( x - T ) - b ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x - T ) -> ( abs ` ( a - b ) ) = ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) )
37	36	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x - T ) -> ( ( abs ` ( a - b ) ) < z <-> ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( x - T ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( x - T ) ) )
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( x - T ) -> ( ( F ` a ) - ( F ` b ) ) = ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x - T ) -> ( abs ` ( ( F ` a ) - ( F ` b ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) )
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x - T ) -> ( ( abs ` ( ( F ` a ) - ( F ` b ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) )
42	37, 41	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( x - T ) -> ( ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` a ) - ( F ` b ) ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) )
43	42	rexralbidv 3058	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( x - T ) -> ( E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` a ) - ( F ` b ) ) ) < w ) <-> E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) )
44	43	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( a = ( x - T ) -> ( A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` a ) - ( F ` b ) ) ) < w ) <-> A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) )
45	44	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( ( x - T ) e. A /\ A. a e. A A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( a - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` a ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) -> A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) )
46	24, 34, 45	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) )
47	46	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) )
48		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> w e. RR+ )
49		rspa 2930	. . . . 5 |- ( ( A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) /\ w e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) )
51		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) -> ph )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ph )
53		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) -> x e. B )
54	53	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> x e. B )
55		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> v e. B )
56	26	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. B /\ ( F ` ( x - T ) ) e. CC ) -> ( G ` x ) = ( F ` ( x - T ) ) )
57	5, 25, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( G ` x ) = ( F ` ( x - T ) ) )
58	57	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ v e. B ) -> ( G ` x ) = ( F ` ( x - T ) ) )
59	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. B ) -> G = ( x e. B |-> ( F ` ( x - T ) ) ) )
60		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = v -> ( x - T ) = ( v - T ) )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = v -> ( F ` ( x - T ) ) = ( F ` ( v - T ) ) )
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. B ) /\ x = v ) -> ( F ` ( x - T ) ) = ( F ` ( v - T ) ) )
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. B ) -> v e. B )
64	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. B ) -> F : A --> CC )
65		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = v -> ( x e. B <-> v e. B ) )
66	65	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = v -> ( ( ph /\ x e. B ) <-> ( ph /\ v e. B ) ) )
67	60	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = v -> ( ( x - T ) e. A <-> ( v - T ) e. A ) )
68	66, 67	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = v -> ( ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x - T ) e. A ) <-> ( ( ph /\ v e. B ) -> ( v - T ) e. A ) ) )
69	68, 24	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. B ) -> ( v - T ) e. A )
70	64, 69	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. B ) -> ( F ` ( v - T ) ) e. CC )
71	59, 62, 63, 70	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. B ) -> ( G ` v ) = ( F ` ( v - T ) ) )
72	71	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ v e. B ) -> ( G ` v ) = ( F ` ( v - T ) ) )
73	58, 72	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B /\ v e. B ) -> ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) = ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` ( v - T ) ) ) )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B /\ v e. B ) -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` ( v - T ) ) ) ) )
75	52, 54, 55, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` ( v - T ) ) ) ) )
76	52, 54, 55	jca31 557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) )
77		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( x - v ) ) < z )
78	9	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. CC )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) -> x e. CC )
80		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x e. CC | E. y e. A x = ( y + T ) } C_ CC
81	6, 80	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- B C_ CC
82	81	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. B -> v e. CC )
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) -> v e. CC )
84	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) -> T e. CC )
85	79, 83, 84	nnncan2d 10427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) -> ( ( x - T ) - ( v - T ) ) = ( x - v ) )
86	85	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) -> ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) = ( abs ` ( x - v ) ) )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) = ( abs ` ( x - v ) ) )
88		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( x - v ) ) < z )
89	87, 88	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z )
90	76, 77, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z )
91	52, 55, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( v - T ) e. A )
92		simpll3 1102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) )
93		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( v - T ) -> ( ( x - T ) - b ) = ( ( x - T ) - ( v - T ) ) )
94	93	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( v - T ) -> ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) = ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) )
95	94	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( v - T ) -> ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z <-> ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z ) )
96		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( v - T ) -> ( F ` b ) = ( F ` ( v - T ) ) )
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( v - T ) -> ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) = ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` ( v - T ) ) ) )
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( v - T ) -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` ( v - T ) ) ) ) )
99	98	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( v - T ) -> ( ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` ( v - T ) ) ) ) < w ) )
100	95, 99	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( v - T ) -> ( ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` ( v - T ) ) ) ) < w ) ) )
101	100	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v - T ) e. A /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) -> ( ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` ( v - T ) ) ) ) < w ) )
102	91, 92, 101	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( ( abs ` ( ( x - T ) - ( v - T ) ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` ( v - T ) ) ) ) < w ) )
103	90, 102	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` ( v - T ) ) ) ) < w )
104	75, 103	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) /\ ( abs ` ( x - v ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w )
105	104	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) /\ v e. B ) -> ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) )
106	105	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) /\ z e. RR+ /\ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) ) -> A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) )
107	106	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> ( z e. RR+ -> ( A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) -> A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) ) ) )
108	107	reximdvai 3015	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> ( E. z e. RR+ A. b e. A ( ( abs ` ( ( x - T ) - b ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` ( x - T ) ) - ( F ` b ) ) ) < w ) -> E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) ) )
109	50, 108	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ w e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) )
110	109	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. x e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) )
111	81	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> B C_ CC )
112		elcncf 22692	. . . 4 |- ( ( B C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( G e. ( B -cn-> CC ) <-> ( G : B --> CC /\ A. a e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w ) ) ) )
113	111, 30, 112	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( G e. ( B -cn-> CC ) <-> ( G : B --> CC /\ A. a e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w ) ) ) )
114		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x RR+
115		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x B
116		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( abs ` ( a - v ) ) < z
117		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x abs
118		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( x e. B |-> ( F ` ( x - T ) ) )
119	26, 118	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x G
120		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x a
121	119, 120	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( G ` a )
122		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x -
123		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x v
124	119, 123	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( G ` v )
125	121, 122, 124	nfov 6676	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( G ` a ) - ( G ` v ) )
126	117, 125	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) )
127		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x <
128		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x w
129	126, 127, 128	nfbr 4699	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w
130	116, 129	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w )
131	115, 130	nfral 2945	. . . . . . . 8 |- F/ x A. v e. B ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w )
132	114, 131	nfrex 3007	. . . . . . 7 |- F/ x E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w )
133	114, 132	nfral 2945	. . . . . 6 |- F/ x A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w )
134		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ a A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w )
135		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( a - v ) = ( x - v ) )
136	135	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> ( abs ` ( a - v ) ) = ( abs ` ( x - v ) ) )
137	136	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( a = x -> ( ( abs ` ( a - v ) ) < z <-> ( abs ` ( x - v ) ) < z ) )
138		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( G ` a ) = ( G ` x ) )
139	138	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) = ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) )
140	139	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) = ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) )
141	140	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( a = x -> ( ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) )
142	137, 141	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) ) )
143	142	rexralbidv 3058	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w ) <-> E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) ) )
144	143	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( a = x -> ( A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w ) <-> A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) ) )
145	133, 134, 144	cbvral 3167	. . . . 5 |- ( A. a e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w ) <-> A. x e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) )
146	145	bicomi 214	. . . 4 |- ( A. x e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) <-> A. a e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w ) )
147	146	anbi2i 730	. . 3 |- ( ( G : B --> CC /\ A. x e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) ) <-> ( G : B --> CC /\ A. a e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( a - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` a ) - ( G ` v ) ) ) < w ) ) )
148	113, 147	syl6bbr 278	. 2 |- ( ph -> ( G e. ( B -cn-> CC ) <-> ( G : B --> CC /\ A. x e. B A. w e. RR+ E. z e. RR+ A. v e. B ( ( abs ` ( x - v ) ) < z -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( G ` v ) ) ) < w ) ) ) )
149	27, 110, 148	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> G e. ( B -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  40105  itgiccshift  40196  fourierdlem92  40415