Theorem itgiccshift 40196

Description: The integral of a function, F stays the same if its closed interval domain is shifted by T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgiccshift.a	|- ( ph -> A e. RR )
itgiccshift.b	|- ( ph -> B e. RR )
itgiccshift.aleb	|- ( ph -> A <_ B )
itgiccshift.f	|- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
itgiccshift.t	|- ( ph -> T e. RR+ )
itgiccshift.g	|- G = ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) )

Assertion

Ref	Expression
itgiccshift	|- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, G   x, T   ph, x

Proof of Theorem itgiccshift

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgiccshift.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		itgiccshift.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		itgiccshift.t	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR+ )
4	3	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
5		itgiccshift.aleb	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ B )
6	1, 2, 4, 5	leadd1dd 10641	. . . 4 |- ( ph -> ( A + T ) <_ ( B + T ) )
7	6	ditgpos 23620	. . 3 |- ( ph -> S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( G ` x ) _d x = S. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x )
8	1, 4	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( A + T ) e. RR )
9	2, 4	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( B + T ) e. RR )
10		itgiccshift.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
11		cncff 22696	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
14	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A e. RR )
15	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> B e. RR )
16	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) e. RR )
17	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( B + T ) e. RR )
18		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
19		eliccre 39728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A + T ) e. RR /\ ( B + T ) e. RR /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. RR )
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. RR )
21	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> T e. RR )
22	20, 21	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) e. RR )
23	1	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
24	4	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. CC )
25	23, 24	pncand 10393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A + T ) - T ) = A )
26	25	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A = ( ( A + T ) - T ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A = ( ( A + T ) - T ) )
28		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A + T ) e. RR /\ ( B + T ) e. RR ) -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) <-> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) ) )
29	16, 17, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) <-> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) ) )
30	18, 29	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) )
31	30	simp2d 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) <_ x )
32	16, 20, 21, 31	lesub1dd 10643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( A + T ) - T ) <_ ( x - T ) )
33	27, 32	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A <_ ( x - T ) )
34	30	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x <_ ( B + T ) )
35	20, 17, 21, 34	lesub1dd 10643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) <_ ( ( B + T ) - T ) )
36	2	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
37	36, 24	pncand 10393	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B + T ) - T ) = B )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( B + T ) - T ) = B )
39	35, 38	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) <_ B )
40	14, 15, 22, 33, 39	eliccd 39726	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) e. ( A [,] B ) )
41	13, 40	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( F ` ( x - T ) ) e. CC )
42		itgiccshift.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) )
43	41, 42	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> G : ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) --> CC )
44	43	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
45	8, 9, 44	itgioo 23582	. . 3 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x )
46	7, 45	eqtr2d 2657	. 2 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( G ` x ) _d x )
47		eqid 2622	. . . 4 |- ( y e. CC |-> ( y + T ) ) = ( y e. CC |-> ( y + T ) )
48	47	addccncf 22719	. . . . 5 |- ( T e. CC -> ( y e. CC |-> ( y + T ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
49	24, 48	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( y + T ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
50	1, 2	iccssred 39727	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
51		ax-resscn 9993	. . . . 5 |- RR C_ CC
52	50, 51	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
53	8, 9	iccssred 39727	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) C_ RR )
54	53, 51	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) C_ CC )
55	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) e. RR )
56	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( B + T ) e. RR )
57	50	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. RR )
58	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> T e. RR )
59	57, 58	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) e. RR )
60	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
61		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
62	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
63		elicc2 12238	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
64	60, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
65	61, 64	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) )
66	65	simp2d 1074	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> A <_ y )
67	60, 57, 58, 66	leadd1dd 10641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) <_ ( y + T ) )
68	65	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y <_ B )
69	57, 62, 58, 68	leadd1dd 10641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) <_ ( B + T ) )
70	55, 56, 59, 67, 69	eliccd 39726	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
71	47, 49, 52, 54, 70	cncfmptssg 40083	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) )
72		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x - T ) = ( w - T ) )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( F ` ( x - T ) ) = ( F ` ( w - T ) ) )
74	73	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) ) = ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) )
75	1, 2, 4	iccshift 39744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) = { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } )
76	75	mpteq1d 4738	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) ) = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
77	74, 76	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) ) = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
78	42, 77	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
79		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( w = ( z + T ) <-> x = ( z + T ) ) )
80	79	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) <-> E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) ) )
81		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( z + T ) = ( y + T ) )
82	81	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( x = ( z + T ) <-> x = ( y + T ) ) )
83	82	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) <-> E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) )
84	80, 83	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) <-> E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) ) )
85	84	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } = { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) }
86	85	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } = { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) }
87		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) )
88	52, 24, 86, 10, 87	cncfshift 40087	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) e. ( { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } -cn-> CC ) )
89	78, 88	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } -cn-> CC ) )
90	43	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( ph -> G = ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( G ` x ) ) )
91	75	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } = ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
92	91	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } -cn-> CC ) = ( ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) -cn-> CC ) )
93	89, 90, 92	3eltr3d 2715	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( G ` x ) ) e. ( ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) -cn-> CC ) )
94		ioosscn 39716	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ CC
95	94	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
96		1cnd 10056	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
97		ssid 3624	. . . . . 6 |- CC C_ CC
98	97	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> CC C_ CC )
99	95, 96, 98	constcncfg 40084	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
100		fconstmpt 5163	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 )
101		ioombl 23333	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) e. dom vol
102	101	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. dom vol )
103		ioovolcl 23338	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR )
104	1, 2, 103	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR )
105		iblconst 23584	. . . . . 6 |- ( ( ( A (,) B ) e. dom vol /\ ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR /\ 1 e. CC ) -> ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) e. L^1 )
106	102, 104, 96, 105	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) e. L^1 )
107	100, 106	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. L^1 )
108	99, 107	elind 3798	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. ( ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
109	50	resmptd 5452	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) = ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) )
110	109	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) = ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) )
111	110	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) )
112	51	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
113	112	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
114	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> T e. CC )
115	113, 114	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y + T ) e. CC )
116		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. RR |-> ( y + T ) ) = ( y e. RR |-> ( y + T ) )
117	115, 116	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( y + T ) ) : RR --> CC )
118		ssid 3624	. . . . . . 7 |- RR C_ RR
119	118	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ RR )
120		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
121	120	tgioo2 22606	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
122	120, 121	dvres 23675	. . . . . 6 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( y e. RR |-> ( y + T ) ) : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( A [,] B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
123	112, 117, 119, 50, 122	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
124	111, 123	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
125		iccntr 22624	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
126	1, 2, 125	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
127	126	reseq2d 5396	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
128		reelprrecn 10028	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
129	128	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
130		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
131	129	dvmptid 23720	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
132		0cnd 10033	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 0 e. CC )
133	129, 24	dvmptc 23721	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> T ) ) = ( y e. RR |-> 0 ) )
134	129, 113, 130, 131, 114, 132, 133	dvmptadd 23723	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) = ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) )
135	134	reseq1d 5395	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) |` ( A (,) B ) ) )
136		ioossre 12235	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) C_ RR
137	136	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
138	137	resmptd 5452	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) )
139		1p0e1 11133	. . . . . . 7 |- ( 1 + 0 ) = 1
140	139	mpteq2i 4741	. . . . . 6 |- ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 )
141	140	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
142	135, 138, 141	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
143	124, 127, 142	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
144		fveq2 6191	. . 3 |- ( x = ( y + T ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( y + T ) ) )
145		oveq1 6657	. . 3 |- ( y = A -> ( y + T ) = ( A + T ) )
146		oveq1 6657	. . 3 |- ( y = B -> ( y + T ) = ( B + T ) )
147	1, 2, 5, 71, 93, 108, 143, 144, 145, 146, 8, 9	itgsubsticc 40192	. 2 |- ( ph -> S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( G ` x ) _d x = S__ [ A -> B ] ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
148	5	ditgpos 23620	. . 3 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A (,) B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
149	43	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> G : ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) --> CC )
150	149, 70	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( G ` ( y + T ) ) e. CC )
151		1cnd 10056	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> 1 e. CC )
152	150, 151	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) e. CC )
153	1, 2, 152	itgioo 23582	. . 3 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
154		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( y + T ) = ( x + T ) )
155	154	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( G ` ( y + T ) ) = ( G ` ( x + T ) ) )
156	155	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) = ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) )
157	156	cbvitgv 23543	. . . 4 |- S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) _d x
158	43	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> G : ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) --> CC )
159	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) e. RR )
160	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( B + T ) e. RR )
161	50	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
162	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> T e. RR )
163	161, 162	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x + T ) e. RR )
164	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
165	1	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
166	165	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR* )
167	2	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR* )
168	167	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR* )
169		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
170		iccgelb 12230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A <_ x )
171	166, 168, 169, 170	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A <_ x )
172	164, 161, 162, 171	leadd1dd 10641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) <_ ( x + T ) )
173	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
174		iccleub 12229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
175	166, 168, 169, 174	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
176	161, 173, 162, 175	leadd1dd 10641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x + T ) <_ ( B + T ) )
177	159, 160, 163, 172, 176	eliccd 39726	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x + T ) e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
178	158, 177	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( G ` ( x + T ) ) e. CC )
179	178	mulid1d 10057	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) = ( G ` ( x + T ) ) )
180	42, 74	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- G = ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) )
181	180	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> G = ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
182		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x + T ) -> ( w - T ) = ( ( x + T ) - T ) )
183	182	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x + T ) -> ( F ` ( w - T ) ) = ( F ` ( ( x + T ) - T ) ) )
184	161	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. CC )
185	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> T e. CC )
186	184, 185	pncand 10393	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( x + T ) - T ) = x )
187	186	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( ( x + T ) - T ) ) = ( F ` x ) )
188	183, 187	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ w = ( x + T ) ) -> ( F ` ( w - T ) ) = ( F ` x ) )
189	12	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
190	181, 188, 177, 189	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( G ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
191	179, 190	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) = ( F ` x ) )
192	191	itgeq2dv 23548	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
193	157, 192	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
194	148, 153, 193	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
195	46, 147, 194	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   S__cdit 23610   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ditg 23611  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem81  40404