Theorem cnconst2 21087

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnconst2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnconst2

Dummy variables x u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6094	. . 3 |- ( B e. Y -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
2	1	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
3	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
4		simpll3 1102	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> B e. Y )
5		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> x e. X )
6		fvconst2g 6467	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. Y /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) ` x ) = B )
7	4, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( X X. { B } ) ` x ) = B )
8	7	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y <-> B e. y ) )
9		simpll1 1100	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10		toponmax 20730	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> X e. J )
12		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> x e. X )
13		df-ima 5127	. . . . . . . . 9 |- ( ( X X. { B } ) " X ) = ran ( ( X X. { B } ) |` X )
14		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- X C_ X
15		xpssres 5434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X C_ X -> ( ( X X. { B } ) |` X ) = ( X X. { B } ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X X. { B } ) |` X ) = ( X X. { B } )
17	16	rneqi 5352	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( ( X X. { B } ) |` X ) = ran ( X X. { B } )
18		rnxpss 5566	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( X X. { B } ) C_ { B }
19	17, 18	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- ran ( ( X X. { B } ) |` X ) C_ { B }
20		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> B e. y )
21	20	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> { B } C_ y )
22	19, 21	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> ran ( ( X X. { B } ) |` X ) C_ y )
23	13, 22	syl5eqss 3649	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y )
24		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( u = X -> ( x e. u <-> x e. X ) )
25		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = X -> ( ( X X. { B } ) " u ) = ( ( X X. { B } ) " X ) )
26	25	sseq1d 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( u = X -> ( ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y <-> ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) )
27	24, 26	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) <-> ( x e. X /\ ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) ) )
28	27	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. J /\ ( x e. X /\ ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) )
29	11, 12, 23, 28	syl12anc 1324	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) )
30	29	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( B e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
31	8, 30	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
32	31	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
33		simpl1 1064	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
34		simpl2 1065	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
35		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> x e. X )
36		iscnp 21041	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) ) ) )
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) ) ) )
38	3, 32, 37	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
39	38	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
40		cncnp 21084	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
41	40	3adant3 1081	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
42	2, 39, 41	mpbir2and 957	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {csn 4177   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031  df-cnp 21032

This theorem is referenced by:  cnconst  21088  xkoccn  21422  txkgen  21455  cnmptc  21465  pcoptcl  22821  blocni  27660  pl1cn  30001  connpconn  31217  cvmliftphtlem  31299  cvmlift3lem9  31309  cnfdmsn  40095  stoweidlem47  40264