Theorem stoweidlem47 40264

Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem47.1	|- F/_ t F
stoweidlem47.2	|- F/_ t S
stoweidlem47.3	|- F/ t ph
stoweidlem47.4	|- T = U. J
stoweidlem47.5	|- G = ( T X. { -u S } )
stoweidlem47.6	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem47.7	|- ( ph -> J e. Top )
stoweidlem47.8	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem47.9	|- ( ph -> F e. C )
stoweidlem47.10	|- ( ph -> S e. RR )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem47	|- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - S ) ) e. C )

Distinct variable groups:   t, J   t, K   t, T

Allowed substitution hints:   ph( t)   C( t)   S( t)   F( t)   G( t)

Proof of Theorem stoweidlem47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem47.3	. . 3 |- F/ t ph
2		stoweidlem47.5	. . . . . . 7 |- G = ( T X. { -u S } )
3	2	fveq1i 6192	. . . . . 6 |- ( G ` t ) = ( ( T X. { -u S } ) ` t )
4		stoweidlem47.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR )
5	4	renegcld 10457	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u S e. RR )
6		fvconst2g 6467	. . . . . . 7 |- ( ( -u S e. RR /\ t e. T ) -> ( ( T X. { -u S } ) ` t ) = -u S )
7	5, 6	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( T X. { -u S } ) ` t ) = -u S )
8	3, 7	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( G ` t ) = -u S )
9	8	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) = ( ( F ` t ) + -u S ) )
10		stoweidlem47.6	. . . . . . . 8 |- K = ( topGen ` ran (,) )
11		stoweidlem47.4	. . . . . . . 8 |- T = U. J
12		stoweidlem47.8	. . . . . . . 8 |- C = ( J Cn K )
13		stoweidlem47.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. C )
14	10, 11, 12, 13	fcnre 39184	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : T --> RR )
15	14	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
16	15	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. CC )
17	4	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CC )
18	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> S e. CC )
19	16, 18	negsubd 10398	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) + -u S ) = ( ( F ` t ) - S ) )
20	9, 19	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) = ( ( F ` t ) - S ) )
21	1, 20	mpteq2da 4743	. 2 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - S ) ) )
22		stoweidlem47.1	. . . 4 |- F/_ t F
23		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ t T
24		stoweidlem47.2	. . . . . . . 8 |- F/_ t S
25	24	nfneg 10277	. . . . . . 7 |- F/_ t -u S
26	25	nfsn 4242	. . . . . 6 |- F/_ t { -u S }
27	23, 26	nfxp 5142	. . . . 5 |- F/_ t ( T X. { -u S } )
28	2, 27	nfcxfr 2762	. . . 4 |- F/_ t G
29		stoweidlem47.7	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
30	11	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> T = U. J )
31		istopon 20717	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` T ) <-> ( J e. Top /\ T = U. J ) )
32	29, 30, 31	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` T ) )
33	13, 12	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
34		retopon 22567	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
35	10, 34	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- K e. (TopOn ` RR )
36	35	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` RR ) )
37		cnconst2 21087	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` T ) /\ K e. (TopOn ` RR ) /\ -u S e. RR ) -> ( T X. { -u S } ) e. ( J Cn K ) )
38	32, 36, 5, 37	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( T X. { -u S } ) e. ( J Cn K ) )
39	2, 38	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
40	22, 28, 1, 10, 32, 33, 39	refsum2cn 39197	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. ( J Cn K ) )
41	40, 12	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. C )
42	21, 41	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - S ) ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   - cmin 10266   -ucneg 10267   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  40279