Theorem cnextfun 21868

Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextfrel.1	|- C = U. J
cnextfrel.2	|- B = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnextfun	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )

Proof of Theorem cnextfun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 21135	. . 3 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
2		cnextfrel.1	. . . 4 |- C = U. J
3		cnextfrel.2	. . . 4 |- B = U. K
4	2, 3	cnextrel 21867	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> Rel ( ( JCnExt K ) ` F ) )
5	1, 4	sylanl2 683	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> Rel ( ( JCnExt K ) ` F ) )
6		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> K e. Haus )
7	2	toptopon 20722	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` C ) )
8	7	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` C ) )
9	8	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> J e. (TopOn ` C ) )
10		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> A C_ C )
11	9, 7	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> J e. Top )
12	2	clsss3 20863	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ A C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ C )
13	11, 10, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ C )
14		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> x e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
15	13, 14	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> x e. C )
16		trnei 21696	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ x e. C ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
17	16	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ x e. C ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
18	9, 10, 15, 14, 17	syl31anc 1329	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
19		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> F : A --> B )
20	3	hausflf 21801	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Haus /\ ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
21	6, 18, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
22	21	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
23	22	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> A. x ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
24		moanimv 2531	. . . . 5 |- ( E* y ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
25	24	albii 1747	. . . 4 |- ( A. x E* y ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> A. x ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
26	23, 25	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> A. x E* y ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
27		df-br 4654	. . . . . . 7 |- ( x ( ( JCnExt K ) ` F ) y <-> <. x , y >. e. ( ( JCnExt K ) ` F ) )
28	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( x ( ( JCnExt K ) ` F ) y <-> <. x , y >. e. ( ( JCnExt K ) ` F ) ) )
29	2, 3	cnextfval 21866	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( ( JCnExt K ) ` F ) = U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
30	1, 29	sylanl2 683	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( ( JCnExt K ) ` F ) = U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
31	30	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( <. x , y >. e. ( ( JCnExt K ) ` F ) <-> <. x , y >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
32		opeliunxp 5170	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( <. x , y >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
34	28, 31, 33	3bitrd 294	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( x ( ( JCnExt K ) ` F ) y <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
35	34	mobidv 2491	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( E* y x ( ( JCnExt K ) ` F ) y <-> E* y ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
36	35	albidv 1849	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( A. x E* y x ( ( JCnExt K ) ` F ) y <-> A. x E* y ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
37	26, 36	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> A. x E* y x ( ( JCnExt K ) ` F ) y )
38		dffun6 5903	. 2 |- ( Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) <-> ( Rel ( ( JCnExt K ) ` F ) /\ A. x E* y x ( ( JCnExt K ) ` F ) y ) )
39	5, 37, 38	sylanbrc 698	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E*wmo 2471   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   clsccl 20822   neicnei 20901   Hauscha 21112   Filcfil 21649   fLimf cflf 21739  CnExtccnext 21863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-pm 7860  df-rest 16083  df-fbas 19743  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-haus 21119  df-fil 21650  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cnext 21864

This theorem is referenced by:  cnextfvval  21869  cnextf  21870  cnextfres  21873