Theorem cnextfvval 21869

Description: The value of the continuous extension of a given function F at a point X. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextf.1	|- C = U. J
cnextf.2	|- B = U. K
cnextf.3	|- ( ph -> J e. Top )
cnextf.4	|- ( ph -> K e. Haus )
cnextf.5	|- ( ph -> F : A --> B )
cnextf.a	|- ( ph -> A C_ C )
cnextf.6	|- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` A ) = C )
cnextf.7	|- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
cnextfvval	|- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` X ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, F   x, J   x, K   x, X   ph, x

Proof of Theorem cnextfvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnextf.3	. . . 4 |- ( ph -> J e. Top )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> J e. Top )
3		cnextf.4	. . . 4 |- ( ph -> K e. Haus )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> K e. Haus )
5		cnextf.5	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> B )
6	5	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> F : A --> B )
7		cnextf.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
8	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> A C_ C )
9		cnextf.1	. . . 4 |- C = U. J
10		cnextf.2	. . . 4 |- B = U. K
11	9, 10	cnextfun 21868	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )
12	2, 4, 6, 8, 11	syl22anc 1327	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )
13		cnextf.6	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` A ) = C )
14	13	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ph -> ( X e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> X e. C ) )
15	14	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
16		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
17	16	uniex 6953	. . . . . 6 |- U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
18	17	snid 4208	. . . . 5 |- U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) }
19		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> { x } = { X } )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { X } ) )
21	20	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) = ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) )
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) = ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) )
23	22	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) )
24	23	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o ) )
25	24	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( ph -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o ) <-> ( ph -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o ) ) )
26	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> K e. Haus )
27	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> J e. Top )
28	9	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` C ) )
29	27, 28	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> J e. (TopOn ` C ) )
30	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> A C_ C )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. C )
32	13	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> x e. C ) )
33	32	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
34		trnei 21696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ x e. C ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
35	34	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ x e. C ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
36	29, 30, 31, 33, 35	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
37	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> F : A --> B )
38		cnextf.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
39	10	hausflf2 21802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Haus /\ ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) /\ ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
40	26, 36, 37, 38, 39	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
41	40	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( x e. C -> ( ph -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o ) )
42	25, 41	vtoclga 3272	. . . . . . 7 |- ( X e. C -> ( ph -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o ) )
43	42	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
44		en1b 8024	. . . . . 6 |- ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
45	43, 44	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
46	18, 45	syl5eleqr 2708	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) )
47		nfiu1 4550	. . . . . . . 8 |- F/_ x U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
48	47	nfel2 2781	. . . . . . 7 |- F/ x <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
49		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x ( X e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) )
50	48, 49	nfbi 1833	. . . . . 6 |- F/ x ( <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( X e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
51		opeq1 4402	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> <. x , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. = <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. )
52	51	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( <. x , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
53		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> X e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
54	23	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) <-> U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
55	53, 54	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( X e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
56	52, 55	bibi12d 335	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( <. x , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) <-> ( <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( X e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) ) )
57		opeliunxp 5170	. . . . . 6 |- ( <. x , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
58	50, 56, 57	vtoclg1f 3265	. . . . 5 |- ( X e. C -> ( <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( X e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
59	58	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( X e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
60	15, 46, 59	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
61		df-br 4654	. . . 4 |- ( X ( ( JCnExt K ) ` F ) U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) <-> <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. ( ( JCnExt K ) ` F ) )
62		haustop 21135	. . . . . . . 8 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
63	3, 62	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. Top )
64	63	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> K e. Top )
65	9, 10	cnextfval 21866	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( ( JCnExt K ) ` F ) = U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
66	2, 64, 6, 8, 65	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( JCnExt K ) ` F ) = U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
67	66	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. ( ( JCnExt K ) ` F ) <-> <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
68	61, 67	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( X ( ( JCnExt K ) ` F ) U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) <-> <. X , U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
69	60, 68	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X ( ( JCnExt K ) ` F ) U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) )
70		funbrfv 6234	. 2 |- ( Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) -> ( X ( ( JCnExt K ) ` F ) U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` X ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
71	12, 69, 70	sylc 65	1 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` X ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { X } ) ↾t A ) ) ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ~~ cen 7952   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   clsccl 20822   neicnei 20901   Hauscha 21112   Filcfil 21649   fLimf cflf 21739  CnExtccnext 21863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-rest 16083  df-fbas 19743  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-haus 21119  df-fil 21650  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cnext 21864

This theorem is referenced by:  cnextcn  21871  cnextfres1  21872