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Theorem coftr 9095
Description: If there is a cofinal map from B to A and another from C to A, then there is also a cofinal map from C to B. Proposition 11.9 of [TakeutiZaring] p. 102. A limited form of transitivity for the "cof" relation. This is really a lemma for cfcof 9096. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
coftr.1 |- H = ( t e. C |-> |^| { n e. B | ( g ` t ) C_ ( f ` n ) } )
Assertion
Ref Expression
coftr |- ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> ( E. g ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, g, s, w, x   z, A, f, g, s, w   B, f, g, h, s, w   B, n, t, f, g, w   x, B, y, f, g, s, w   C, f, g, h, s, w   t, C   z, C   h, H, s, w   y, n
Allowed substitution hints:   A( y, t, h, n)   B( z)   C( x, y, n)   H( x, y, z, t, f, g, n)
Proof of Theorem coftr
StepHypRef Expression
1 fdm 6051 . . . . . . . 8 |- ( g : C --> A -> dom g = C )
2 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- g e. _V
32dmex 7099 . . . . . . . 8 |- dom g e. _V
41, 3syl6eqelr 2710 . . . . . . 7 |- ( g : C --> A -> C e. _V )
5 coftr.1 . . . . . . . . 9 |- H = ( t e. C |-> |^| { n e. B | ( g ` t ) C_ ( f ` n ) } )
6 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = w -> ( g ` t ) = ( g ` w ) )
76sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = w -> ( ( g ` t ) C_ ( f ` n ) <-> ( g ` w ) C_ ( f ` n ) ) )
87rabbidv 3189 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = w -> { n e. B | ( g ` t ) C_ ( f ` n ) } = { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } )
98inteqd 4480 . . . . . . . . . 10 |- ( t = w -> |^| { n e. B | ( g ` t ) C_ ( f ` n ) } = |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } )
109cbvmptv 4750 . . . . . . . . 9 |- ( t e. C |-> |^| { n e. B | ( g ` t ) C_ ( f ` n ) } ) = ( w e. C |-> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } )
115, 10eqtri 2644 . . . . . . . 8 |- H = ( w e. C |-> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } )
12 mptexg 6484 . . . . . . . 8 |- ( C e. _V -> ( w e. C |-> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) e. _V )
1311, 12syl5eqel 2705 . . . . . . 7 |- ( C e. _V -> H e. _V )
144, 13syl 17 . . . . . 6 |- ( g : C --> A -> H e. _V )
1514ad2antrl 764 . . . . 5 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> H e. _V )
16 ffn 6045 . . . . . . . . 9 |- ( f : B --> A -> f Fn B )
17 smodm2 7452 . . . . . . . . 9 |- ( ( f Fn B /\ Smo f ) -> Ord B )
1816, 17sylan 488 . . . . . . . 8 |- ( ( f : B --> A /\ Smo f ) -> Ord B )
19183adant3 1081 . . . . . . 7 |- ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> Ord B )
2019adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> Ord B )
21 simpl3 1066 . . . . . 6 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) )
22 simprl 794 . . . . . 6 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> g : C --> A )
23 simpl1 1064 . . . . . . . 8 |- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> Ord B )
24 simpl2 1065 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) )
25 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . 10 |- ( ( g : C --> A /\ w e. C ) -> ( g ` w ) e. A )
26253ad2antl3 1225 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> ( g ` w ) e. A )
27 sseq1 3626 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( g ` w ) -> ( x C_ ( f ` y ) <-> ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) )
2827rexbidv 3052 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( g ` w ) -> ( E. y e. B x C_ ( f ` y ) <-> E. y e. B ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) )
2928rspccv 3306 . . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) -> ( ( g ` w ) e. A -> E. y e. B ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) )
3024, 26, 29sylc 65 . . . . . . . 8 |- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> E. y e. B ( g ` w ) C_ ( f ` y ) )
31 ssrab2 3687 . . . . . . . . . . . . 13 |- { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ B
32 ordsson 6989 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord B -> B C_ On )
3331, 32syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord B -> { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ On )
34 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = y -> ( f ` n ) = ( f ` y ) )
3534sseq2d 3633 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = y -> ( ( g ` w ) C_ ( f ` n ) <-> ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) )
3635rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) -> E. n e. B ( g ` w ) C_ ( f ` n ) )
37 rabn0 3958 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } =/= (/) <-> E. n e. B ( g ` w ) C_ ( f ` n ) )
3836, 37sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) -> { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } =/= (/) )
39 oninton 7000 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ On /\ { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } =/= (/) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. On )
4033, 38, 39syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. On )
41 eloni 5733 . . . . . . . . . . 11 |- ( |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. On -> Ord |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> Ord |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } )
43 simpl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> Ord B )
4435intminss 4503 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ y )
4544adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ y )
46 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> y e. B )
47 ordtr2 5768 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } /\ Ord B ) -> ( ( |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ y /\ y e. B ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) )
4847imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Ord |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } /\ Ord B ) /\ ( |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } C_ y /\ y e. B ) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B )
4942, 43, 45, 46, 48syl22anc 1327 . . . . . . . . 9 |- ( ( Ord B /\ ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B )
5049rexlimdvaa 3032 . . . . . . . 8 |- ( Ord B -> ( E. y e. B ( g ` w ) C_ ( f ` y ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) )
5123, 30, 50sylc 65 . . . . . . 7 |- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B )
5251, 11fmptd 6385 . . . . . 6 |- ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) -> H : C --> B )
5320, 21, 22, 52syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> H : C --> B )
54 simprr 796 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) )
55 simpl1 1064 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> f : B --> A )
56 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f : B --> A /\ s e. B ) -> ( f ` s ) e. A )
57 sseq1 3626 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( f ` s ) -> ( z C_ ( g ` w ) <-> ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) )
5857rexbidv 3052 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f ` s ) -> ( E. w e. C z C_ ( g ` w ) <-> E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) )
5958rspccv 3306 . . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) -> ( ( f ` s ) e. A -> E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) )
6056, 59syl5 34 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) -> ( ( f : B --> A /\ s e. B ) -> E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) )
6160expdimp 453 . . . . . . . 8 |- ( ( A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) /\ f : B --> A ) -> ( s e. B -> E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) )
6254, 55, 61syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> ( s e. B -> E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) )
6355, 16syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> f Fn B )
64 simpl2 1065 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> Smo f )
65 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> w e. C )
6665, 51jca 554 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> ( w e. C /\ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) )
6735elrab 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } <-> ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) )
68 sstr2 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> ( ( g ` w ) C_ ( f ` y ) -> ( f ` s ) C_ ( f ` y ) ) )
69 smoword 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ ( s e. B /\ y e. B ) ) -> ( s C_ y <-> ( f ` s ) C_ ( f ` y ) ) )
7069biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ ( s e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` s ) C_ ( f ` y ) -> s C_ y ) )
7168, 70syl9r 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ ( s e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> ( ( g ` w ) C_ ( f ` y ) -> s C_ y ) ) )
7271expr 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) -> ( y e. B -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> ( ( g ` w ) C_ ( f ` y ) -> s C_ y ) ) ) )
7372com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> ( y e. B -> ( ( g ` w ) C_ ( f ` y ) -> s C_ y ) ) ) )
7473imp4b 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> ( ( y e. B /\ ( g ` w ) C_ ( f ` y ) ) -> s C_ y ) )
7567, 74syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> ( y e. { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } -> s C_ y ) )
7675ralrimiv 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> A. y e. { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } s C_ y )
77 ssint 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s C_ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } <-> A. y e. { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } s C_ y )
7876, 77sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> s C_ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } )
799, 5fvmptg 6280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. C /\ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) -> ( H ` w ) = |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } )
8079sseq2d 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. C /\ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) -> ( s C_ ( H ` w ) <-> s C_ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } ) )
8178, 80syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> ( ( w e. C /\ |^| { n e. B | ( g ` w ) C_ ( f ` n ) } e. B ) -> s C_ ( H ` w ) ) )
8266, 81syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( f ` s ) C_ ( g ` w ) ) -> ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> s C_ ( H ` w ) ) )
8382ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> s C_ ( H ` w ) ) ) )
8483com23 86 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) -> ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ w e. C ) -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> s C_ ( H ` w ) ) ) )
8584expdimp 453 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) ) -> ( w e. C -> ( ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> s C_ ( H ` w ) ) ) )
8685reximdvai 3015 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) /\ ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) ) -> ( E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) )
8786ancoms 469 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ s e. B ) ) -> ( E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) )
8887expr 643 . . . . . . . 8 |- ( ( ( Ord B /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) /\ g : C --> A ) /\ ( f Fn B /\ Smo f ) ) -> ( s e. B -> ( E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) ) )
8920, 21, 22, 63, 64, 88syl32anc 1334 . . . . . . 7 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> ( s e. B -> ( E. w e. C ( f ` s ) C_ ( g ` w ) -> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) ) )
9062, 89mpdd 43 . . . . . 6 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> ( s e. B -> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) )
9190ralrimiv 2965 . . . . 5 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> A. s e. B E. w e. C s C_ ( H ` w ) )
92 feq1 6026 . . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( h : C --> B <-> H : C --> B ) )
93 fveq1 6190 . . . . . . . . . . 11 |- ( h = H -> ( h ` w ) = ( H ` w ) )
9493sseq2d 3633 . . . . . . . . . 10 |- ( h = H -> ( s C_ ( h ` w ) <-> s C_ ( H ` w ) ) )
9594rexbidv 3052 . . . . . . . . 9 |- ( h = H -> ( E. w e. C s C_ ( h ` w ) <-> E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) )
9695ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) <-> A. s e. B E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) )
9792, 96anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( h = H -> ( ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) <-> ( H : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) ) )
9897spcegv 3294 . . . . . 6 |- ( H e. _V -> ( ( H : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) ) )
99983impib 1262 . . . . 5 |- ( ( H e. _V /\ H : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( H ` w ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) )
10015, 53, 91, 99syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) /\ ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) )
101100ex 450 . . 3 |- ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> ( ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) ) )
102101exlimdv 1861 . 2 |- ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> ( E. g ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) ) )
103102exlimiv 1858 1 |- ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> ( E. g ( g : C --> A /\ A. z e. A E. w e. C z C_ ( g ` w ) ) -> E. h ( h : C --> B /\ A. s e. B E. w e. C s C_ ( h ` w ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   Smo wsmo 7442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-smo 7443
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