Theorem cfcoflem 9094

Description: Lemma for cfcof 9096, showing subset relation in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cfcoflem	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, x, y   B, f, x, y

Proof of Theorem cfcoflem

Dummy variables g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cff1 9080	. . 3 |- ( B e. On -> E. g ( g : ( cf ` B ) -1-1-> B /\ A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) ) )
2		f1f 6101	. . . . . 6 |- ( g : ( cf ` B ) -1-1-> B -> g : ( cf ` B ) --> B )
3		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : B --> A /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( f o. g ) : ( cf ` B ) --> A )
4	3	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( f o. g ) : ( cf ` B ) --> A )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ ( A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) ) -> ( f o. g ) : ( cf ` B ) --> A )
6		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) /\ E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> E. y e. B ( E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) /\ x C_ ( f ` y ) ) )
7		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( g : ( cf ` B ) --> B /\ z e. ( cf ` B ) ) -> ( g ` z ) e. B )
8		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( f : B --> A -> f Fn B )
9		smoword 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ ( y e. B /\ ( g ` z ) e. B ) ) -> ( y C_ ( g ` z ) <-> ( f ` y ) C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) )
10	9	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( f Fn B /\ Smo f ) /\ ( y e. B /\ ( g ` z ) e. B ) ) -> ( y C_ ( g ` z ) -> ( f ` y ) C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) )
11	10	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( f Fn B /\ Smo f ) -> ( y e. B -> ( ( g ` z ) e. B -> ( y C_ ( g ` z ) -> ( f ` y ) C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) ) ) )
12	8, 11	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( f : B --> A /\ Smo f ) -> ( y e. B -> ( ( g ` z ) e. B -> ( y C_ ( g ` z ) -> ( f ` y ) C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) ) ) )
13	7, 12	syl7 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( f : B --> A /\ Smo f ) -> ( y e. B -> ( ( g : ( cf ` B ) --> B /\ z e. ( cf ` B ) ) -> ( y C_ ( g ` z ) -> ( f ` y ) C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) ) ) )
14	13	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( f : B --> A /\ Smo f ) -> ( ( g : ( cf ` B ) --> B /\ z e. ( cf ` B ) ) -> ( y e. B -> ( y C_ ( g ` z ) -> ( f ` y ) C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) ) ) )
15	14	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( z e. ( cf ` B ) -> ( y e. B -> ( y C_ ( g ` z ) -> ( f ` y ) C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) ) ) )
16	15	3imp2 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ ( z e. ( cf ` B ) /\ y e. B /\ y C_ ( g ` z ) ) ) -> ( f ` y ) C_ ( f ` ( g ` z ) ) )
17		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x C_ ( f ` y ) -> ( ( f ` y ) C_ ( f ` ( g ` z ) ) -> x C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) )
18	16, 17	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ ( z e. ( cf ` B ) /\ y e. B /\ y C_ ( g ` z ) ) ) -> ( x C_ ( f ` y ) -> x C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) )
19		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( g : ( cf ` B ) --> B /\ z e. ( cf ` B ) ) -> ( ( f o. g ) ` z ) = ( f ` ( g ` z ) ) )
20	19	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( g : ( cf ` B ) --> B /\ z e. ( cf ` B ) ) -> ( x C_ ( ( f o. g ) ` z ) <-> x C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) )
21	20	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ z e. ( cf ` B ) ) -> ( x C_ ( ( f o. g ) ` z ) <-> x C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) )
22	21	3ad2antr1 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ ( z e. ( cf ` B ) /\ y e. B /\ y C_ ( g ` z ) ) ) -> ( x C_ ( ( f o. g ) ` z ) <-> x C_ ( f ` ( g ` z ) ) ) )
23	18, 22	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ ( z e. ( cf ` B ) /\ y e. B /\ y C_ ( g ` z ) ) ) -> ( x C_ ( f ` y ) -> x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) )
24	23	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( z e. ( cf ` B ) /\ y e. B /\ y C_ ( g ` z ) ) -> ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( x C_ ( f ` y ) -> x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) ) )
25	24	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( z e. ( cf ` B ) /\ y e. B ) -> ( y C_ ( g ` z ) -> ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( x C_ ( f ` y ) -> x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) ) ) )
26	25	com4t 93	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( x C_ ( f ` y ) -> ( ( z e. ( cf ` B ) /\ y e. B ) -> ( y C_ ( g ` z ) -> x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) ) ) )
27	26	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ x C_ ( f ` y ) ) -> ( ( z e. ( cf ` B ) /\ y e. B ) -> ( y C_ ( g ` z ) -> x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) ) )
28	27	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ x C_ ( f ` y ) ) -> ( y e. B -> ( z e. ( cf ` B ) -> ( y C_ ( g ` z ) -> x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) ) ) )
29	28	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ x C_ ( f ` y ) ) /\ y e. B ) /\ z e. ( cf ` B ) ) -> ( y C_ ( g ` z ) -> x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) )
30	29	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ x C_ ( f ` y ) ) /\ y e. B ) -> ( E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) -> E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) )
31	30	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( x C_ ( f ` y ) -> ( y e. B -> ( E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) -> E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) ) ) )
32	31	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( x C_ ( f ` y ) -> ( E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) -> ( y e. B -> E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) ) ) )
33	32	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) -> ( x C_ ( f ` y ) -> ( y e. B -> E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) ) ) )
34	33	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( ( E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) /\ x C_ ( f ` y ) ) -> ( y e. B -> E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) ) )
35	34	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( y e. B -> ( ( E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) /\ x C_ ( f ` y ) ) -> E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) ) )
36	35	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( E. y e. B ( E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) /\ x C_ ( f ` y ) ) -> E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) )
37	6, 36	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) -> ( ( A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) /\ E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) )
38	37	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) ) -> ( E. y e. B x C_ ( f ` y ) -> E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) )
39	38	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) ) -> ( A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) -> A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) )
40	39	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ ( A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) ) -> A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) )
41		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- f e. _V
42		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- g e. _V
43	41, 42	coex 7118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f o. g ) e. _V
44		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h : ( cf ` B ) --> A <-> ( f o. g ) : ( cf ` B ) --> A ) )
45		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h ` z ) = ( ( f o. g ) ` z ) )
46	45	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = ( f o. g ) -> ( x C_ ( h ` z ) <-> x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) )
47	46	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( f o. g ) -> ( E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) <-> E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) )
48	47	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( f o. g ) -> ( A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) <-> A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) )
49	44, 48	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( f o. g ) -> ( ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) <-> ( ( f o. g ) : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) ) )
50	43, 49	spcev 3300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f o. g ) : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( ( f o. g ) ` z ) ) -> E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) )
51	5, 40, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : B --> A /\ Smo f ) /\ g : ( cf ` B ) --> B ) /\ ( A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) ) -> E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) )
52	51	exp43 640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : B --> A /\ Smo f ) -> ( g : ( cf ` B ) --> B -> ( A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) -> ( A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) -> E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) ) ) ) )
53	52	com24 95	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : B --> A /\ Smo f ) -> ( A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) -> ( A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) -> ( g : ( cf ` B ) --> B -> E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) ) ) ) )
54	53	3impia 1261	. . . . . . . 8 |- ( ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> ( A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) -> ( g : ( cf ` B ) --> B -> E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) ) ) )
55	54	exlimiv 1858	. . . . . . 7 |- ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> ( A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) -> ( g : ( cf ` B ) --> B -> E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) ) ) )
56	55	com13 88	. . . . . 6 |- ( g : ( cf ` B ) --> B -> ( A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) ) ) )
57	2, 56	syl 17	. . . . 5 |- ( g : ( cf ` B ) -1-1-> B -> ( A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) ) ) )
58	57	imp 445	. . . 4 |- ( ( g : ( cf ` B ) -1-1-> B /\ A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) ) )
59	58	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. g ( g : ( cf ` B ) -1-1-> B /\ A. y e. B E. z e. ( cf ` B ) y C_ ( g ` z ) ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) ) )
60	1, 59	syl 17	. 2 |- ( B e. On -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) ) )
61		cfon 9077	. . 3 |- ( cf ` B ) e. On
62		cfflb 9081	. . 3 |- ( ( A e. On /\ ( cf ` B ) e. On ) -> ( E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) ) )
63	61, 62	mpan2 707	. 2 |- ( A e. On -> ( E. h ( h : ( cf ` B ) --> A /\ A. x e. A E. z e. ( cf ` B ) x C_ ( h ` z ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) ) )
64	60, 63	sylan9r 690	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. x e. A E. y e. B x C_ ( f ` y ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   o. ccom 5118   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   Smo wsmo 7442   cfccf 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-smo 7443  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-card 8765  df-cf 8767  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  cfcof  9096  cfidm  9097