Theorem cfcof 9096

Description: If there is a cofinal map from A to B, then they have the same cofinality. This was used as Definition 11.1 of [TakeutiZaring] p. 100, who defines an equivalence relation cof ( A , B ) and defines our cf ( B ) as the minimum B such that cof ( A , B ). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfcof	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` A ) = ( cf ` B ) ) )

Distinct variable groups:   w, f, z, A   B, f, w, z

Proof of Theorem cfcof

Dummy variables c g h k r s t x y v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfcoflem 9094	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) ) )
2	1	imp 445	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) )
3		cff1 9080	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> E. g ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
4		f1f 6101	. . . . . . . . 9 |- ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A -> g : ( cf ` A ) --> A )
5	4	anim1i 592	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
6	5	eximi 1762	. . . . . . 7 |- ( E. g ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. On -> E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
8		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. ( cf ` A ) |-> |^| { v e. B | ( g ` y ) C_ ( f ` v ) } ) = ( y e. ( cf ` A ) |-> |^| { v e. B | ( g ` y ) C_ ( f ` v ) } )
9	8	coftr 9095	. . . . . 6 |- ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) ) )
10	7, 9	syl5com 31	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) ) )
11		eloni 5733	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> Ord B )
12		cfon 9077	. . . . . . 7 |- ( cf ` A ) e. On
13		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } = { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) }
14		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- |^| { c e. ( cf ` A ) | r C_ ( h ` c ) } = |^| { c e. ( cf ` A ) | r C_ ( h ` c ) }
15		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- OrdIso ( _E , { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } ) = OrdIso ( _E , { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } )
16	13, 14, 15	cofsmo 9091	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ ( cf ` A ) e. On ) -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) )
17	11, 12, 16	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) )
18		3simpb 1059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) )
19	18	eximi 1762	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) )
20	12	onsuci 7038	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc ( cf ` A ) e. On
21	20	oneli 5835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. suc ( cf ` A ) -> c e. On )
22		cfflb 9081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ c e. On ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) )
23	21, 22	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) )
24	19, 23	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) )
25	24	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ c )
26		onsssuc 5813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. On /\ ( cf ` A ) e. On ) -> ( c C_ ( cf ` A ) <-> c e. suc ( cf ` A ) ) )
27	21, 12, 26	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. suc ( cf ` A ) -> ( c C_ ( cf ` A ) <-> c e. suc ( cf ` A ) ) )
28	27	ibir 257	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. suc ( cf ` A ) -> c C_ ( cf ` A ) )
29	28	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> c C_ ( cf ` A ) )
30	25, 29	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) )
31	30	exp31 630	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( c e. suc ( cf ` A ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) ) )
32	31	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) )
33	17, 32	syld 47	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) )
34	10, 33	sylan9 689	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) )
35	34	imp 445	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) )
36	2, 35	eqssd 3620	. 2 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` A ) = ( cf ` B ) )
37	36	ex 450	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` A ) = ( cf ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   Smo wsmo 7442  OrdIsocoi 8414   cfccf 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-smo 7443  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-oi 8415  df-card 8765  df-cf 8767  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  alephsing  9098