Theorem colinearalglem2 25787

Description: Lemma for colinearalg 25790. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalglem2	|- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> ( A. i e. ( 1 ... N ) A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( A ` i ) ) x. ( ( C ` j ) - ( A ` j ) ) ) = ( ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) x. ( ( C ` i ) - ( A ` i ) ) ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( B ` i ) ) x. ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ) = ( ( ( C ` j ) - ( B ` j ) ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, j   B, i, j   C, i, j   i, N, j

Proof of Theorem colinearalglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
2		simpl 473	. . . 4 |- ( ( i e. ( 1 ... N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> i e. ( 1 ... N ) )
3		fveecn 25782	. . . 4 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( i e. ( 1 ... N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
5		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
6		fveecn 25782	. . . 4 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) e. CC )
7	5, 2, 6	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( i e. ( 1 ... N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( B ` i ) e. CC )
8		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
9		fveecn 25782	. . . 4 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` i ) e. CC )
10	8, 2, 9	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( i e. ( 1 ... N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( C ` i ) e. CC )
11		simpr 477	. . . 4 |- ( ( i e. ( 1 ... N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. ( 1 ... N ) )
12		fveecn 25782	. . . 4 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
13	1, 11, 12	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( i e. ( 1 ... N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
14		fveecn 25782	. . . 4 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` j ) e. CC )
15	5, 11, 14	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( i e. ( 1 ... N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( B ` j ) e. CC )
16		fveecn 25782	. . . 4 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
17	8, 11, 16	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( i e. ( 1 ... N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
18		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) -> ( A ` i ) e. CC )
19		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( C ` j ) e. CC )
20		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) e. CC )
21	18, 19, 20	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) e. CC )
22		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) -> ( B ` i ) e. CC )
23		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( A ` j ) e. CC )
24		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( A ` j ) e. CC ) -> ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) e. CC )
25	22, 23, 24	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) e. CC )
26	21, 25	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) e. CC )
27		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) e. CC )
28	22, 19, 27	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) e. CC )
29	26, 28	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) e. CC )
30		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( B ` j ) e. CC )
31		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC ) -> ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) e. CC )
32	18, 30, 31	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) e. CC )
33		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) -> ( C ` i ) e. CC )
34		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C ` i ) e. CC /\ ( A ` j ) e. CC ) -> ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) e. CC )
35	33, 23, 34	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) e. CC )
36		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C ` i ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC ) -> ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) e. CC )
37	33, 30, 36	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) e. CC )
38	35, 37	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) e. CC )
39	29, 32, 38	subadd2d 10411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) <-> ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) ) )
40		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) <-> ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) = ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) )
41	39, 40	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) <-> ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) = ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
42	35, 32, 37	addsubd 10413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) )
43	35, 32	addcomd 10238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) )
45	42, 44	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) )
46	45	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) = ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) <-> ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
47	41, 46	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) <-> ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
48	26, 28, 32	subsub4d 10423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
49	28, 32	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) e. CC )
50	21, 49, 25	subsub3d 10422	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
51	28, 25, 32	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) )
52	51	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) = ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
53	52	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) = ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) )
54	25, 32	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) e. CC )
55	21, 28, 54	subsubd 10420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) + ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
56	53, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) + ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
57	48, 50, 56	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) + ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
58	21, 28	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) e. CC )
59	58, 25, 32	addsub12d 10415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) + ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
60	21, 28, 32	subsub4d 10423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) )
62	59, 61	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) + ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) )
63	57, 62	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) )
64	63	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) - ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) <-> ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
65	32, 35	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) e. CC )
66		subeqrev 10453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) e. CC /\ ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) e. CC ) /\ ( ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) e. CC /\ ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) <-> ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) - ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) ) )
67	26, 28, 65, 37, 66	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) ) = ( ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) <-> ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) - ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) ) )
68	47, 64, 67	3bitr3rd 299	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) - ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) <-> ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
69	21, 49	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) e. CC )
70	25, 69, 38	addrsub 10448	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) <-> ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) )
71	35, 37, 25	sub32d 10424	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) = ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) )
72	35, 25, 37	subsub4d 10423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
73	71, 72	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
74	73	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) - ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) <-> ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) )
75	70, 74	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) <-> ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) )
76		eqcom 2629	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) <-> ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) )
77	75, 76	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) <-> ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) )
78	68, 77	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) - ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) <-> ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) )
79		colinearalglem1 25786	. . . 4 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( B ` i ) - ( A ` i ) ) x. ( ( C ` j ) - ( A ` j ) ) ) = ( ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) x. ( ( C ` i ) - ( A ` i ) ) ) <-> ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) = ( ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) - ( ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) ) ) ) )
80		3anrot 1043	. . . . 5 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) <-> ( ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC /\ ( A ` i ) e. CC ) )
81		3anrot 1043	. . . . 5 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) <-> ( ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ ( A ` j ) e. CC ) )
82		colinearalglem1 25786	. . . . 5 |- ( ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC /\ ( A ` i ) e. CC ) /\ ( ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ ( A ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( C ` i ) - ( B ` i ) ) x. ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ) = ( ( ( C ` j ) - ( B ` j ) ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) <-> ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) )
83	80, 81, 82	syl2anb 496	. . . 4 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( C ` i ) - ( B ` i ) ) x. ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ) = ( ( ( C ` j ) - ( B ` j ) ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) <-> ( ( ( C ` i ) x. ( A ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( A ` j ) ) + ( ( C ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) = ( ( ( A ` i ) x. ( C ` j ) ) - ( ( ( B ` i ) x. ( C ` j ) ) + ( ( A ` i ) x. ( B ` j ) ) ) ) ) )
84	78, 79, 83	3bitr4d 300	. . 3 |- ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC ) /\ ( ( A ` j ) e. CC /\ ( B ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) ) -> ( ( ( ( B ` i ) - ( A ` i ) ) x. ( ( C ` j ) - ( A ` j ) ) ) = ( ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) x. ( ( C ` i ) - ( A ` i ) ) ) <-> ( ( ( C ` i ) - ( B ` i ) ) x. ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ) = ( ( ( C ` j ) - ( B ` j ) ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) ) )
85	4, 7, 10, 13, 15, 17, 84	syl33anc 1341	. 2 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( i e. ( 1 ... N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( ( ( B ` i ) - ( A ` i ) ) x. ( ( C ` j ) - ( A ` j ) ) ) = ( ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) x. ( ( C ` i ) - ( A ` i ) ) ) <-> ( ( ( C ` i ) - ( B ` i ) ) x. ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ) = ( ( ( C ` j ) - ( B ` j ) ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) ) )
86	85	2ralbidva 2988	1 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> ( A. i e. ( 1 ... N ) A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( A ` i ) ) x. ( ( C ` j ) - ( A ` j ) ) ) = ( ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) x. ( ( C ` i ) - ( A ` i ) ) ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( B ` i ) ) x. ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ) = ( ( ( C ` j ) - ( B ` j ) ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   ...cfz 12326   EEcee 25768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ee 25771

This theorem is referenced by:  colinearalglem3  25788  colinearalg  25790