colinearalg - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > colinearalg		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem colinearalg 25790

Description: An algebraic characterization of colinearity. Note the similarity to brbtwn2 25785. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
colinearalg	$/\$ $/\$ $\/$ $\/$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem colinearalg Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brbtwn2 25785	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
2		brbtwn2 25785	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
3	2	3comr 1273	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
4		colinearalglem3 25788	. . . . . 6 $/\$ $/\$
5	4	3comr 1273	. . . . 5 $/\$ $/\$
6	5	anbi2d 740	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	3, 6	bitrd 268	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
8		brbtwn2 25785	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
9		colinearalglem2 25787	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10	9	anbi2d 740	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	8, 10	bitrd 268	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
12	11	3coml 1272	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
13	1, 7, 12	3orbi123d 1398	. 2 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
14		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
15		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
16		subid 10300	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
19		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
20	19	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
21	18, 20	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
22	14, 15, 21	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
23	22	anandirs 874	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
24		0le0 11110	. . . . . . . . . . 11
25	23, 24	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
26	25	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 $/\$
27	26	3adant1 1079	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
28		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
30	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
31	29, 30	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
32	31	breq1d 4663	. . . . . . . . 9
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . . 8
34	27, 33	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
35		3mix1 1230	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
36	34, 35	syl6 35	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
37	36	a1dd 50	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
38		simp3 1063	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
39		simp1 1061	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
40		eqeefv 25783	. . . . . . . . 9 $/\$
41	38, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
42	41	necon3abid 2830	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
43		df-ne 2795	. . . . . . . . 9
44	43	rexbii 3041	. . . . . . . 8
45		rexnal 2995	. . . . . . . 8
46	44, 45	bitr2i 265	. . . . . . 7
47	42, 46	syl6bb 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$
48		ralcom 3098	. . . . . . . 8
49		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	49, 50	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
53		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	53, 50	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
56	52, 55	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12
57	56	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11
58	57	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10
59	58	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
62		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
63	62	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
64		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
65	64	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
66	61, 63, 65	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	anim1i 592	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	anasss 679	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
70	69	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71	14	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
72	15	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
73	70, 71, 72	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . 16
77		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78	75, 76, 77	3anim123i 1247	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	79	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14
83		simp12 1092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		simp11 1091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		simp22 1095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		simp21 1094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	85, 86	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		simp23 1096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	88, 86	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	90, 91	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	92	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	biimp3ar 1433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	87, 89, 94	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96		simp13 1093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96, 84	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	95, 97	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		subadd2 10285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
100	99	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
101	83, 84, 98, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	87, 97, 89, 94	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	87, 97	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	83, 84	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	105, 89, 106, 94	divmuld 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	89, 106	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	107, 109	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	104, 110	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	101, 103, 111	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	82, 112	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	74, 80, 81, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	114	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116		3simpb 1059	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
117		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
118		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
119	117, 118	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
120		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
121	120, 118	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
122		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
123	122	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
124	75	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
125	123, 124	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
126	125	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
127	126	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
128	119, 121, 127	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
129		colinearalglem4 25789	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
130		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131	130	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
132	131	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16
133	132	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . 15
134		ralbi 3068	. . . . . . . . . . . . . . 15
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
136		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138	136, 137	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
139	138	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16
140	139	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . 15
141		ralbi 3068	. . . . . . . . . . . . . . 15
142	140, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
143		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
145	144	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16
146	145	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . 15
147		ralbi 3068	. . . . . . . . . . . . . . 15
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
149	135, 142, 148	3orbi123d 1398	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
150	129, 149	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
151	116, 128, 150	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
152	115, 151	sylbird 250	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
153	68, 152	syldan 487	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
154	59, 153	syld 47	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
155	48, 154	syl5bi 232	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
156	155	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
157	47, 156	sylbid 230	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
158	37, 157	pm2.61dne 2880	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
159	158	pm4.71rd 667	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
160		andir 912	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
161	160	orbi1i 542	. . . 4 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
162		df-3or 1038	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
163	162	anbi1i 731	. . . . 5 $\/$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
164		andir 912	. . . . 5 $\/$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
165	163, 164	bitri 264	. . . 4 $\/$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
166		df-3or 1038	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
167	161, 165, 166	3bitr4i 292	. . 3 $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
168	159, 167	syl6rbb 277	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
169	13, 168	bitrd 268	1 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cop 4183 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cfz 12326

cee 25768

cbtwn 25769

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-icc 12182 df-fz 12327 df-seq 12802 df-exp 12861 df-ee 25771 df-btwn 25772

This theorem is referenced by: axlowdimlem6 25827

W3C validator