Theorem grplid 17452

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	|- B = ( Base ` G )
grplid.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplid.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplid	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 17429	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpbn0.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grplid.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4		grplid.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
5	2, 3, 4	mndlid 17311	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )
6	1, 5	sylan 488	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425

This theorem is referenced by:  grprcan  17455  grpid  17457  isgrpid2  17458  grprinv  17469  grpinvid1  17470  grpinvid2  17471  grpidinv2  17474  grpinvid  17476  grplcan  17477  grpasscan1  17478  grpidlcan  17481  grplmulf1o  17489  grpidssd  17491  grpinvadd  17493  grpinvval2  17498  grplactcnv  17518  imasgrp  17531  mulgaddcom  17564  mulgdirlem  17572  subg0  17600  issubg2  17609  issubg4  17613  0subg  17619  isnsg3  17628  nmzsubg  17635  ssnmz  17636  eqger  17644  eqgid  17646  qusgrp  17649  qus0  17652  ghmid  17666  conjghm  17691  conjnmz  17694  subgga  17733  cntzsubg  17769  sylow1lem2  18014  sylow2blem2  18036  sylow2blem3  18037  sylow3lem1  18042  lsmmod  18088  lsmdisj2  18095  pj1rid  18115  abladdsub4  18219  ablpncan2  18221  ablpnpcan  18225  ablnncan  18226  odadd1  18251  odadd2  18252  oddvdssubg  18258  dprdfadd  18419  pgpfac1lem3a  18475  ringlz  18587  ringrz  18588  isabvd  18820  lmod0vlid  18893  lmod0vs  18896  psr0lid  19395  mplsubglem  19434  mplcoe1  19465  evpmodpmf1o  19942  ocvlss  20016  lsmcss  20036  mdetunilem6  20423  mdetunilem9  20426  ghmcnp  21918  tgpt0  21922  qustgpopn  21923  mdegaddle  23834  ply1rem  23923  ogrpinvOLD  29715  ogrpinv0le  29716  ogrpaddltrbid  29721  ogrpinv0lt  29723  ogrpinvlt  29724  isarchi3  29741  archirngz  29743  archiabllem1b  29746  orngsqr  29804  ornglmulle  29805  orngrmulle  29806  ofldchr  29814  matunitlindflem1  33405  lfl0f  34356  lfladd0l  34361  lkrlss  34382  lkrin  34451  dvhgrp  36396  baerlem3lem1  36996  mapdh6bN  37026  hdmap1l6b  37101  hdmapinvlem3  37212  hdmapinvlem4  37213  hdmapglem7b  37220  rnglz  41884