Theorem grplcan 17477

Description: Left cancellation law for groups. (Contributed by NM, 25-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplcan.b	|- B = ( Base ` G )
grplcan.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplcan	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grplcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
2	1	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
3		grplcan.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` G )
4		grplcan.p	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` G )
5		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
7	3, 4, 5, 6	grplinv 17468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
8	7	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
9	8	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) )
10	3, 6	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
11	10	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
12		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
13		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
14	11, 12, 13	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ X e. B ) )
15	3, 4	grpass 17431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
16	14, 15	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
17	16	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
18	3, 4, 5	grplid 17452	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
20	9, 17, 19	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
21	20	adantrl 752	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
22	21	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
23	7	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( 0g ` G ) .+ Y ) )
25	10	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
26		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
27		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
28	25, 26, 27	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) )
29	3, 4	grpass 17431	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
30	28, 29	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
31	3, 4, 5	grplid 17452	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
32	31	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
33	24, 30, 32	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
34	33	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
35	34	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
36	2, 22, 35	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> X = Y )
37	36	exp53 647	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( Z e. B -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
38	37	3imp2 1282	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> X = Y ) )
39		oveq2 6658	. 2 |- ( X = Y -> ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) )
40	38, 39	impbid1 215	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426

This theorem is referenced by:  grpidrcan  17480  grpinvinv  17482  grplmulf1o  17489  grplactcnv  17518  conjghm  17691  conjnmzb  17695  sylow3lem2  18043  gex2abl  18254  ringcom  18579  ringlz  18587  lmodlcan  18879  lmodfopne  18901  isnumbasgrplem2  37674  rnglz  41884