Theorem cvxcl 24711

Description: Closure of a 0-1 linear combination in a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvxcl.1	|- ( ph -> D C_ RR )
cvxcl.2	|- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x [,] y ) C_ D )

Assertion

Ref	Expression
cvxcl	|- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) e. D )

Distinct variable groups:   x, y, D   ph, x, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   T( x, y)

Proof of Theorem cvxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvxcl.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x [,] y ) C_ D )
2	1	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. D A. y e. D ( x [,] y ) C_ D )
3	2	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> A. x e. D A. y e. D ( x [,] y ) C_ D )
4		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> X e. D )
5		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> Y e. D )
6		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( x [,] y ) = ( X [,] y ) )
7	6	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( x [,] y ) C_ D <-> ( X [,] y ) C_ D ) )
8		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> ( X [,] y ) = ( X [,] Y ) )
9	8	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( y = Y -> ( ( X [,] y ) C_ D <-> ( X [,] Y ) C_ D ) )
10	7, 9	rspc2v 3322	. . . . . 6 |- ( ( X e. D /\ Y e. D ) -> ( A. x e. D A. y e. D ( x [,] y ) C_ D -> ( X [,] Y ) C_ D ) )
11	4, 5, 10	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( A. x e. D A. y e. D ( x [,] y ) C_ D -> ( X [,] Y ) C_ D ) )
12	11	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> ( A. x e. D A. y e. D ( x [,] y ) C_ D -> ( X [,] Y ) C_ D ) )
13	3, 12	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> ( X [,] Y ) C_ D )
14		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
15		unitssre 12319	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
16		simpr3 1069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> T e. ( 0 [,] 1 ) )
17	15, 16	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> T e. RR )
18	17	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> T e. CC )
19		nncan 10310	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. CC /\ T e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - T ) ) = T )
20	14, 18, 19	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( 1 - T ) ) = T )
21	20	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 1 - ( 1 - T ) ) x. X ) = ( T x. X ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( ( 1 - ( 1 - T ) ) x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) = ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) )
23	22	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> ( ( ( 1 - ( 1 - T ) ) x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) = ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) )
24		cvxcl.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D C_ RR )
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> D C_ RR )
26	25, 4	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> X e. RR )
27	26	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> X e. RR )
28	25, 5	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> Y e. RR )
29	28	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> Y e. RR )
30		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> X < Y )
31		simplr3 1105	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> T e. ( 0 [,] 1 ) )
32		iirev 22728	. . . . . 6 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - T ) e. ( 0 [,] 1 ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> ( 1 - T ) e. ( 0 [,] 1 ) )
34		lincmb01cmp 12315	. . . . 5 |- ( ( ( X e. RR /\ Y e. RR /\ X < Y ) /\ ( 1 - T ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1 - ( 1 - T ) ) x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) e. ( X [,] Y ) )
35	27, 29, 30, 33, 34	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> ( ( ( 1 - ( 1 - T ) ) x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) e. ( X [,] Y ) )
36	23, 35	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) e. ( X [,] Y ) )
37	13, 36	sseldd 3604	. 2 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X < Y ) -> ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) e. D )
38		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( X = Y -> ( T x. X ) = ( T x. Y ) )
39	38	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( X = Y -> ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) = ( ( T x. Y ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) )
40		pncan3 10289	. . . . . . 7 |- ( ( T e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( T + ( 1 - T ) ) = 1 )
41	18, 14, 40	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( T + ( 1 - T ) ) = 1 )
42	41	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( T + ( 1 - T ) ) x. Y ) = ( 1 x. Y ) )
43		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
44		resubcl 10345	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> ( 1 - T ) e. RR )
45	43, 17, 44	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - T ) e. RR )
46	45	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - T ) e. CC )
47	28	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> Y e. CC )
48	18, 46, 47	adddird 10065	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( T + ( 1 - T ) ) x. Y ) = ( ( T x. Y ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) )
49	47	mulid2d 10058	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 x. Y ) = Y )
50	42, 48, 49	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( T x. Y ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) = Y )
51	39, 50	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X = Y ) -> ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) = Y )
52	5	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X = Y ) -> Y e. D )
53	51, 52	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ X = Y ) -> ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) e. D )
54	2	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ Y < X ) -> A. x e. D A. y e. D ( x [,] y ) C_ D )
55		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> ( x [,] y ) = ( Y [,] y ) )
56	55	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( ( x [,] y ) C_ D <-> ( Y [,] y ) C_ D ) )
57		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( Y [,] y ) = ( Y [,] X ) )
58	57	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( ( Y [,] y ) C_ D <-> ( Y [,] X ) C_ D ) )
59	56, 58	rspc2v 3322	. . . . . 6 |- ( ( Y e. D /\ X e. D ) -> ( A. x e. D A. y e. D ( x [,] y ) C_ D -> ( Y [,] X ) C_ D ) )
60	5, 4, 59	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( A. x e. D A. y e. D ( x [,] y ) C_ D -> ( Y [,] X ) C_ D ) )
61	60	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ Y < X ) -> ( A. x e. D A. y e. D ( x [,] y ) C_ D -> ( Y [,] X ) C_ D ) )
62	54, 61	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ Y < X ) -> ( Y [,] X ) C_ D )
63	26	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> X e. CC )
64	18, 63	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( T x. X ) e. CC )
65	46, 47	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 1 - T ) x. Y ) e. CC )
66	64, 65	addcomd 10238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. Y ) + ( T x. X ) ) )
67	66	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ Y < X ) -> ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. Y ) + ( T x. X ) ) )
68	28	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ Y < X ) -> Y e. RR )
69	26	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ Y < X ) -> X e. RR )
70		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ Y < X ) -> Y < X )
71		simplr3 1105	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ Y < X ) -> T e. ( 0 [,] 1 ) )
72		lincmb01cmp 12315	. . . . 5 |- ( ( ( Y e. RR /\ X e. RR /\ Y < X ) /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1 - T ) x. Y ) + ( T x. X ) ) e. ( Y [,] X ) )
73	68, 69, 70, 71, 72	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ Y < X ) -> ( ( ( 1 - T ) x. Y ) + ( T x. X ) ) e. ( Y [,] X ) )
74	67, 73	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ Y < X ) -> ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) e. ( Y [,] X ) )
75	62, 74	sseldd 3604	. 2 |- ( ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ Y < X ) -> ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) e. D )
76	26, 28	lttri4d 10178	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( X < Y \/ X = Y \/ Y < X ) )
77	37, 53, 75, 76	mpjao3dan 1395	1 |- ( ( ph /\ ( X e. D /\ Y e. D /\ T e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( T x. X ) + ( ( 1 - T ) x. Y ) ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-rp 11833  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  scvxcvx  24712  jensenlem2  24714  amgmlem  24716