Theorem nncan 10310

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nncan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( A - B ) ) = B )

Proof of Theorem nncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsub2 10309	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( A - B ) ) = ( A + ( B - A ) ) )
2	1	3anidm12 1383	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( A - B ) ) = ( A + ( B - A ) ) )
3		pncan3 10289	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
4	2, 3	eqtrd 2656	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( A - B ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   - cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  nnncan1  10317  nncand  10397  elz2  11394  fzrev2  12404  fzrevral  12425  fzrevral2  12426  bccmpl  13096  revrev  13516  fsumrev  14511  geolim2  14602  dvdssub2  15023  efgredleme  18156  psrcom  19409  psropprmul  19608  icccvx  22749  lebnumii  22765  pcorevlem  22826  pcorev2  22828  pi1xfrcnv  22857  efcvx  24203  sincos3rdpi  24268  cosne0  24276  logtayl  24406  logtayl2  24408  logccv  24409  acoscos  24620  sinacos  24632  cvxcl  24711  scvxcvx  24712  basellem5  24811  logfacbnd3  24948  bposlem1  25009  gausslemma2dlem1a  25090  lgsquadlem2  25106  chtppilimlem2  25163  rplogsumlem1  25173  rpvmasumlem  25176  brbtwn2  25785  ax5seglem1  25808  resconn  31228  dvasin  33496  fouriersw  40448  subsubelfzo0  41336