Theorem resubcl 10345

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10026	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 10026	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 10329	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 10344	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 10019	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 491	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2702	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   - cmin 10266   -ucneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  peano2rem  10348  resubcld  10458  ltaddsub  10502  leaddsub  10504  posdif  10521  lt2sub  10526  le2sub  10527  mulsuble0b  10895  cju  11016  elz2  11394  rpnnen1lem5  11818  rpnnen1lem5OLD  11824  difrp  11868  qbtwnre  12030  iooshf  12252  iccshftl  12308  lincmb01cmp  12315  uzsubsubfz  12363  difelfzle  12452  fzonmapblen  12513  eluzgtdifelfzo  12529  subfzo0  12590  fracle1  12604  fldiv  12659  modcl  12672  2submod  12731  modsubdir  12739  modfzo0difsn  12742  expubnd  12921  absdiflt  14057  absdifle  14058  elicc4abs  14059  abssubge0  14067  abs2difabs  14074  rddif  14080  absrdbnd  14081  climsup  14400  flo1  14586  supcvg  14588  refallfaccl  14749  resin4p  14868  recos4p  14869  cos01bnd  14916  cos01gt0  14921  pythagtriplem12  15531  pythagtriplem14  15533  pythagtriplem16  15535  fldivp1  15601  prmreclem6  15625  cshwshashlem2  15803  bl2ioo  22595  ioo2bl  22596  ioo2blex  22597  blssioo  22598  blcvx  22601  reconnlem2  22630  opnreen  22634  iirev  22728  iihalf2  22732  iccpnfhmeo  22744  iccvolcl  23335  ioovolcl  23338  ismbf3d  23421  itgrecl  23564  cmvth  23754  dvle  23770  dvcvx  23783  dvfsumge  23785  aalioulem3  24089  aaliou  24093  aaliou3lem9  24105  abelthlem2  24186  abelthlem7  24192  abelth2  24196  sincosq1sgn  24250  sincosq2sgn  24251  sincosq3sgn  24252  sincosq4sgn  24253  tangtx  24257  sinq12gt0  24259  cosq14gt0  24262  cosq14ge0  24263  cosne0  24276  sinord  24280  resinf1o  24282  tanregt0  24285  efif1olem2  24289  relogdiv  24339  logneg2  24361  logdivlti  24366  logcnlem4  24391  logccv  24409  cxpaddlelem  24492  loglesqrt  24499  ang180lem2  24540  acoscos  24620  acosbnd  24627  acosrecl  24630  atanlogaddlem  24640  atans2  24658  leibpi  24669  divsqrtsumo1  24710  cvxcl  24711  scvxcvx  24712  jensenlem2  24714  amgmlem  24716  harmonicbnd4  24737  zetacvg  24741  ftalem5  24803  basellem9  24815  mumullem2  24906  ppiub  24929  chtub  24937  bposlem1  25009  bposlem6  25014  bposlem9  25017  gausslemma2dlem1a  25090  chtppilim  25164  chto1ub  25165  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrisum0flblem1  25197  dchrisum0re  25202  log2sumbnd  25233  selberglem2  25235  pntrmax  25253  pntpbnd2  25276  pntlem3  25298  brbtwn2  25785  colinearalglem4  25789  eleesub  25791  eleesubd  25792  axsegconlem2  25798  ax5seglem2  25809  ax5seglem3  25811  axpaschlem  25820  axpasch  25821  axcontlem2  25845  crctcshwlkn0lem3  26704  crctcshwlkn0lem7  26708  eucrctshift  27103  xlt2addrd  29523  signshf  30665  resconn  31228  sinccvglem  31566  fz0n  31616  dnibndlem4  32471  dnibndlem6  32473  dnibndlem7  32474  dnibndlem9  32476  dnibndlem10  32477  knoppndvlem15  32517  sin2h  33399  tan2h  33401  poimir  33442  mblfinlem3  33448  mblfinlem4  33449  itg2addnclem  33461  itg2addnclem3  33463  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem6  33490  ftc1anclem7  33491  dvasin  33496  geomcau  33555  bfp  33623  ismrer1  33637  iccbnd  33639  rmspecsqrtnqOLD  37471  jm2.17a  37527  acongeq  37550  jm3.1lem2  37585  areaquad  37802  lptre2pt  39872  dvnmul  40158  stoweidlem59  40276  fourierdlem42  40366  hoidmvlelem2  40810  smfmullem1  40998  ltsubsubaddltsub  41315  zm1nn  41316  nn0resubcl  41317  subsubelfzo0  41336  bgoldbtbndlem2  41694  ply1mulgsumlem2  42175  ltsubaddb  42304  ltsubsubb  42305  ltsubadd2b  42306