Theorem jensenlem2 24714

Description: Lemma for jensen 24715. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
jensen.1	|- ( ph -> D C_ RR )
jensen.2	|- ( ph -> F : D --> RR )
jensen.3	|- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
jensen.4	|- ( ph -> A e. Fin )
jensen.5	|- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
jensen.6	|- ( ph -> X : A --> D )
jensen.7	|- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
jensen.8	|- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
jensenlem.1	|- ( ph -> -. z e. B )
jensenlem.2	|- ( ph -> ( B u. { z } ) C_ A )
jensenlem.s	|- S = (ℂfld gsumg ( T |` B ) )
jensenlem.l	|- L = (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) )
jensenlem.3	|- ( ph -> S e. RR+ )
jensenlem.4	|- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D )
jensenlem.5	|- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) )

Assertion

Ref	Expression
jensenlem2	|- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, t, x, y, A   D, a, b, t, x, y   ph, a, b, t, x, y   F, a, b, t, x, y   T, a, b, t, x, y   X, a, b, t, x, y   z, a, B, b, t, x, y   t, L, x, y   S, a, b, t, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)   D( z)   S( z)   T( z)   F( z)   L( z, a, b)   X( z)

Proof of Theorem jensenlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfld0 19770	. . . . . . 7 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
2		cnring 19768	. . . . . . . 8 |- ℂfld e. Ring
3		ringabl 18580	. . . . . . . 8 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Abel )
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ℂfld e. Abel )
5		jensen.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Fin )
6		jensenlem.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B u. { z } ) C_ A )
7	6	unssad 3790	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ A )
8		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
9	5, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Fin )
10		resubdrg 19954	. . . . . . . . 9 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) /\ RRfld e. DivRing )
11	10	simpli 474	. . . . . . . 8 |- RR e. (SubRing ` ℂfld )
12		subrgsubg 18786	. . . . . . . 8 |- ( RR e. (SubRing ` ℂfld ) -> RR e. (SubGrp ` ℂfld ) )
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. (SubGrp ` ℂfld ) )
14		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
16		jensen.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T : A --> ( 0 [,) +oo ) )
17		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
18		fss 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T : A --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> T : A --> RR )
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T : A --> RR )
20		jensen.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : A --> D )
21		jensen.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D C_ RR )
22	20, 21	fssd 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X : A --> RR )
23		inidm 3822	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i A ) = A
24	15, 19, 22, 5, 5, 23	off 6912	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T oF x. X ) : A --> RR )
25	24, 7	fssresd 6071	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) : B --> RR )
26		c0ex 10034	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. _V )
28	25, 9, 27	fdmfifsupp 8285	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) finSupp 0 )
29	1, 4, 9, 13, 25, 28	gsumsubgcl 18320	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) e. RR )
30	29	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) e. CC )
31		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
32	17, 31	sstri 3612	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
33	6	unssbd 3791	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { z } C_ A )
34		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
35	34	snss 4316	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
36	33, 35	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> z e. A )
37	16, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) )
38	32, 37	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T ` z ) e. CC )
39	20, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X ` z ) e. D )
40	21, 39	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X ` z ) e. RR )
41	40	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ` z ) e. CC )
42	38, 41	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) e. CC )
43		jensen.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : D --> RR )
44		jensen.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a [,] b ) C_ D )
45		jensen.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < (ℂfld gsumg T ) )
46		jensen.8	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
47		jensenlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. z e. B )
48		jensenlem.s	. . . . . . . 8 |- S = (ℂfld gsumg ( T |` B ) )
49		jensenlem.l	. . . . . . . 8 |- L = (ℂfld gsumg ( T |` ( B u. { z } ) ) )
50	21, 43, 44, 5, 16, 20, 45, 46, 47, 6, 48, 49	jensenlem1 24713	. . . . . . 7 |- ( ph -> L = ( S + ( T ` z ) ) )
51		jensenlem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. RR+ )
52	51	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR )
53		elrege0 12278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( T ` z ) e. RR /\ 0 <_ ( T ` z ) ) )
54	53	simplbi 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) -> ( T ` z ) e. RR )
55	37, 54	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T ` z ) e. RR )
56	52, 55	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S + ( T ` z ) ) e. RR )
57	50, 56	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. RR )
58	57	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> L e. CC )
59		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
60	51	rpgt0d 11875	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < S )
61	53	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( T ` z ) )
62	37, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( T ` z ) )
63	52, 55	addge01d 10615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( T ` z ) <-> S <_ ( S + ( T ` z ) ) ) )
64	62, 63	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S <_ ( S + ( T ` z ) ) )
65	64, 50	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ L )
66	59, 52, 57, 60, 65	ltletrd 10197	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < L )
67	66	gt0ne0d 10592	. . . . 5 |- ( ph -> L =/= 0 )
68	30, 42, 58, 67	divdird 10839	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) ) )
69		cnfldbas 19750	. . . . . . 7 |- CC = ( Base ` ℂfld )
70		cnfldadd 19751	. . . . . . 7 |- + = ( +g ` ℂfld )
71		ringcmn 18581	. . . . . . . 8 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
72	2, 71	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ℂfld e. CMnd )
73	7	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. A )
74	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
75	73, 74	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( T ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
76	32, 75	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( T ` x ) e. CC )
77	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> D C_ RR )
78	20	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X ` x ) e. D )
79	73, 78	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. D )
80	77, 79	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. RR )
81	80	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. CC )
82	76, 81	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) e. CC )
83		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( T ` x ) = ( T ` z ) )
84		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( X ` x ) = ( X ` z ) )
85	83, 84	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) = ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) )
86	69, 70, 72, 9, 82, 36, 47, 42, 85	gsumunsn 18359	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
87	16	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T = ( x e. A |-> ( T ` x ) ) )
88	20	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X = ( x e. A |-> ( X ` x ) ) )
89	5, 74, 78, 87, 88	offval2 6914	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. X ) = ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
90	89	reseq1d 5395	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) )
91	6	resmptd 5452	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
92	90, 91	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
93	92	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) )
94	89	reseq1d 5395	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` B ) )
95	7	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
96	94, 95	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. X ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) )
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) )
98	97	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( X ` x ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
99	86, 93, 98	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) )
100	99	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) ) / L ) )
101	52	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CC )
102	51	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ph -> S =/= 0 )
103	30, 101, 58, 102, 67	dmdcand 10830	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) )
104	58, 101, 58, 67	divsubdird 10840	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L - S ) / L ) = ( ( L / L ) - ( S / L ) ) )
105	50	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L - S ) = ( ( S + ( T ` z ) ) - S ) )
106	101, 38	pncan2d 10394	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S + ( T ` z ) ) - S ) = ( T ` z ) )
107	105, 106	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L - S ) = ( T ` z ) )
108	107	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L - S ) / L ) = ( ( T ` z ) / L ) )
109	58, 67	dividd 10799	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L / L ) = 1 )
110	109	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L / L ) - ( S / L ) ) = ( 1 - ( S / L ) ) )
111	104, 108, 110	3eqtr3rd 2665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( S / L ) ) = ( ( T ` z ) / L ) )
112	111	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( X ` z ) ) )
113	38, 41, 58, 67	div23d 10838	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( X ` z ) ) )
114	112, 113	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) = ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) )
115	103, 114	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( X ` z ) ) / L ) ) )
116	68, 100, 115	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) )
117		jensenlem.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D )
118	52, 57, 67	redivcld 10853	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S / L ) e. RR )
119	51	rpge0d 11876	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ S )
120		divge0 10892	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) /\ ( L e. RR /\ 0 < L ) ) -> 0 <_ ( S / L ) )
121	52, 119, 57, 66, 120	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( S / L ) )
122	58	mulid1d 10057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L x. 1 ) = L )
123	65, 122	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ ( L x. 1 ) )
124		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
125		ledivmul 10899	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. RR /\ 1 e. RR /\ ( L e. RR /\ 0 < L ) ) -> ( ( S / L ) <_ 1 <-> S <_ ( L x. 1 ) ) )
126	52, 124, 57, 66, 125	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S / L ) <_ 1 <-> S <_ ( L x. 1 ) ) )
127	123, 126	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S / L ) <_ 1 )
128		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
129		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
130	128, 129	elicc2i 12239	. . . . . 6 |- ( ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( S / L ) e. RR /\ 0 <_ ( S / L ) /\ ( S / L ) <_ 1 ) )
131	118, 121, 127, 130	syl3anbrc 1246	. . . . 5 |- ( ph -> ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) )
132	117, 39, 131	3jca 1242	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) )
133	21, 44	cvxcl 24711	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) e. D )
134	132, 133	mpdan 702	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) e. D )
135	116, 134	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D )
136	43, 134	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) e. RR )
137	43, 117	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) e. RR )
138	118, 137	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) e. RR )
139	43, 39	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( X ` z ) ) e. RR )
140	55, 139	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. RR )
141	140, 57, 67	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) e. RR )
142	138, 141	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) e. RR )
143		fco 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : D --> RR /\ X : A --> D ) -> ( F o. X ) : A --> RR )
144	43, 20, 143	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. X ) : A --> RR )
145	15, 19, 144, 5, 5, 23	off 6912	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. ( F o. X ) ) : A --> RR )
146	145, 7	fssresd 6071	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) : B --> RR )
147	146, 9, 27	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) finSupp 0 )
148	1, 4, 9, 13, 146, 147	gsumsubgcl 18320	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) e. RR )
149	148, 52, 102	redivcld 10853	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) e. RR )
150	118, 149	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) e. RR )
151		resubcl 10345	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ ( S / L ) e. RR ) -> ( 1 - ( S / L ) ) e. RR )
152	129, 118, 151	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - ( S / L ) ) e. RR )
153	152, 139	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. RR )
154	150, 153	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) e. RR )
155		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( t x. x ) = ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
156	155	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) )
157	156	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) = ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) )
158		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
159	158	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( t x. ( F ` x ) ) = ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) )
160	159	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) = ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) )
161	157, 160	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) <-> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) )
162	161	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( x = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) ) )
163		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( 1 - t ) x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) )
164	163	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) )
165	164	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( X ` z ) -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) = ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
166		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( X ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( X ` z ) ) )
167	166	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) = ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
168	167	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) = ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
169	165, 168	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) <-> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
170	169	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( y = ( X ` z ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) ) )
171		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( S / L ) -> ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) = ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) )
172		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( S / L ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - ( S / L ) ) )
173	172	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) )
174	171, 173	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) )
175	174	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( S / L ) -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) = ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
176		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) = ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) )
177	172	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
178	176, 177	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
179	175, 178	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) <-> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
180	179	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( t = ( S / L ) -> ( ( ph -> ( F ` ( ( t x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) ) )
181	46	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. D /\ y e. D /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ph -> ( F ` ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) <_ ( ( t x. ( F ` x ) ) + ( ( 1 - t ) x. ( F ` y ) ) ) ) )
182	162, 170, 180, 181	vtocl3ga 3276	. . . . . . 7 |- ( ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) e. D /\ ( X ` z ) e. D /\ ( S / L ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
183	117, 39, 131, 182	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) ) )
184	183	pm2.43i 52	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
185	111	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
186	139	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( X ` z ) ) e. CC )
187	38, 186, 58, 67	div23d 10838	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( ( T ` z ) / L ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
188	185, 187	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) = ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) )
189	188	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
190	184, 189	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
191	187, 185	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) = ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
192	191	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) = ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
193		jensenlem.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) )
194	52, 57, 60, 66	divgt0d 10959	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( S / L ) )
195		lemul2 10876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) e. RR /\ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) e. RR /\ ( ( S / L ) e. RR /\ 0 < ( S / L ) ) ) -> ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) <-> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) ) )
196	137, 149, 118, 194, 195	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) <-> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) ) )
197	193, 196	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) <_ ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) )
198	138, 150, 153, 197	leadd1dd 10641	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
199	192, 198	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
200	136, 142, 154, 190, 199	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
201	116	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) = ( F ` ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( X ` z ) ) ) ) )
202	148	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) e. CC )
203	140	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) e. CC )
204	202, 203, 58, 67	divdird 10839	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
205	17, 74	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( T ` x ) e. RR )
206	43	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X ` x ) e. D ) -> ( F ` ( X ` x ) ) e. RR )
207	78, 206	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( X ` x ) ) e. RR )
208	205, 207	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. RR )
209	208	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. CC )
210	73, 209	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) e. CC )
211	84	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( F ` ( X ` x ) ) = ( F ` ( X ` z ) ) )
212	83, 211	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) = ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) )
213	69, 70, 72, 9, 210, 36, 47, 203, 212	gsumunsn 18359	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
214	43	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F = ( y e. D |-> ( F ` y ) ) )
215		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( X ` x ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( X ` x ) ) )
216	78, 88, 214, 215	fmptco 6396	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. X ) = ( x e. A |-> ( F ` ( X ` x ) ) ) )
217	5, 74, 207, 87, 216	offval2 6914	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T oF x. ( F o. X ) ) = ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
218	217	reseq1d 5395	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) )
219	6	resmptd 5452	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
220	218, 219	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) = ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
221	220	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. ( B u. { z } ) |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) )
222	217	reseq1d 5395	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) = ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` B ) )
223	7	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
224	222, 223	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) = ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) )
225	224	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) = (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) )
226	225	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( x e. B |-> ( ( T ` x ) x. ( F ` ( X ` x ) ) ) ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
227	213, 221, 226	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
228	227	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) + ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) / L ) )
229	202, 101, 58, 102, 67	dmdcand 10830	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) )
230	229, 188	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) = ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / L ) + ( ( ( T ` z ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) / L ) ) )
231	204, 228, 230	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) = ( ( ( S / L ) x. ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` B ) ) / S ) ) + ( ( 1 - ( S / L ) ) x. ( F ` ( X ` z ) ) ) ) )
232	200, 201, 231	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ph -> ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) )
233	135, 232	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) e. D /\ ( F ` ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. X ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) <_ ( (ℂfld gsumg ( ( T oF x. ( F o. X ) ) |` ( B u. { z } ) ) ) / L ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   gsum_g cgsu 16101  SubGrpcsubg 17588  CMndccmn 18193   Abelcabl 18194   Ringcrg 18547   DivRingcdr 18747  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746  RRfldcrefld 19950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-refld 19951

This theorem is referenced by:  jensen  24715