dia2dimlem1 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem dia2dimlem1 36353

Description: Lemma for dia2dim 36366. Show properties of the auxiliary atom

. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 3. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dia2dimlem1.l
dia2dimlem1.j	$.\/$
dia2dimlem1.m	$./\$
dia2dimlem1.a
dia2dimlem1.h
dia2dimlem1.t
dia2dimlem1.r
dia2dimlem1.q	$.\/$ $./\$ $.\/$
dia2dimlem1.k	$/\$
dia2dimlem1.u	$/\$
dia2dimlem1.v	$/\$
dia2dimlem1.p	$/\$
dia2dimlem1.f	$/\$
dia2dimlem1.rf	$.\/$
dia2dimlem1.uv
dia2dimlem1.ru

**Assertion**
Ref	Expression
dia2dimlem1	$/\$

**Proof of Theorem dia2dimlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem1.q	. . 3 $.\/$ $./\$ $.\/$
2		dia2dimlem1.k	. . . . 5 $/\$
3	2	simpld 475	. . . 4
4		dia2dimlem1.p	. . . . 5 $/\$
5	4	simpld 475	. . . 4
6		dia2dimlem1.f	. . . . 5 $/\$
7		dia2dimlem1.l	. . . . . 6
8		dia2dimlem1.a	. . . . . 6
9		dia2dimlem1.h	. . . . . 6
10		dia2dimlem1.t	. . . . . 6
11		dia2dimlem1.r	. . . . . 6
12	7, 8, 9, 10, 11	trlat 35456	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	2, 4, 6, 12	syl3anc 1326	. . . 4
14		dia2dimlem1.u	. . . . 5 $/\$
15	14	simpld 475	. . . 4
16	6	simpld 475	. . . . . 6
17	7, 8, 9, 10	ltrnel 35425	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	2, 16, 4, 17	syl3anc 1326	. . . . 5 $/\$
19	18	simpld 475	. . . 4
20		dia2dimlem1.v	. . . . 5 $/\$
21	20	simpld 475	. . . 4
22	4	simprd 479	. . . . . 6
23	7, 9, 10, 11	trlle 35471	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
24	2, 16, 23	syl2anc 693	. . . . . . . 8
25	14	simprd 479	. . . . . . . 8
26		hllat 34650	. . . . . . . . . 10
27	3, 26	syl 17	. . . . . . . . 9
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
29	28, 8	atbase 34576	. . . . . . . . . 10
30	13, 29	syl 17	. . . . . . . . 9
31	28, 8	atbase 34576	. . . . . . . . . 10
32	15, 31	syl 17	. . . . . . . . 9
33	2	simprd 479	. . . . . . . . . 10
34	28, 9	lhpbase 35284	. . . . . . . . . 10
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9
36		dia2dimlem1.j	. . . . . . . . . 10 $.\/$
37	28, 7, 36	latjle12 17062	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
38	27, 30, 32, 35, 37	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$
39	24, 25, 38	mpbi2and 956	. . . . . . 7 $.\/$
40	28, 8	atbase 34576	. . . . . . . . 9
41	5, 40	syl 17	. . . . . . . 8
42	28, 36, 8	hlatjcl 34653	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $.\/$
43	3, 13, 15, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 $.\/$
44	28, 7	lattr 17056	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
45	27, 41, 43, 35, 44	syl13anc 1328	. . . . . . 7 $.\/$ $/\$ $.\/$
46	39, 45	mpan2d 710	. . . . . 6 $.\/$
47	22, 46	mtod 189	. . . . 5 $.\/$
48	20	simprd 479	. . . . . . 7
49	18	simprd 479	. . . . . . 7
50		nbrne2 4673	. . . . . . 7 $/\$
51	48, 49, 50	syl2anc 693	. . . . . 6
52	51	necomd 2849	. . . . 5
53	47, 52	jca 554	. . . 4 $.\/$ $/\$
54	27	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $.\/$
55	41	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $.\/$
56	28, 36, 8	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$
57	3, 21, 15, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $.\/$
58	57	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
59	35	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $.\/$
60	7, 36, 8	hlatlej2 34662	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $.\/$
61	3, 19, 21, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $.\/$
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
63		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
64	62, 63	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
65		dia2dimlem1.uv	. . . . . . . . . . . 12
66	65	necomd 2849	. . . . . . . . . . 11
67	7, 36, 8	hlatexch2 34682	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
68	3, 21, 5, 15, 66, 67	syl131anc 1339	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $.\/$
69	68	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
70	64, 69	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
71	28, 8	atbase 34576	. . . . . . . . . . . 12
72	21, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11
73	28, 7, 36	latjle12 17062	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
74	27, 72, 32, 35, 73	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 $/\$ $.\/$
75	48, 25, 74	mpbi2and 956	. . . . . . . . 9 $.\/$
76	75	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
77	28, 7, 54, 55, 58, 59, 70, 76	lattrd 17058	. . . . . . 7 $/\$ $.\/$ $.\/$
78	77	ex 450	. . . . . 6 $.\/$ $.\/$
79	78	necon3bd 2808	. . . . 5 $.\/$ $.\/$
80	22, 79	mpd 15	. . . 4 $.\/$ $.\/$
81	7, 36, 8	hlatlej2 34662	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $.\/$
82	3, 5, 19, 81	syl3anc 1326	. . . . . 6 $.\/$
83		dia2dimlem1.m	. . . . . . . . . 10 $./\$
84	7, 36, 83, 8, 9, 10, 11	trlval2 35450	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$
85	2, 16, 4, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 $.\/$ $./\$
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$
87	28, 36, 8	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$
88	3, 5, 19, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $.\/$
89	7, 36, 8	hlatlej1 34661	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$
90	3, 5, 19, 89	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $.\/$
91	28, 7, 36, 83, 8	atmod3i1 35150	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $./\$ $.\/$
92	3, 5, 88, 35, 90, 91	syl131anc 1339	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $./\$ $.\/$
93		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
94	7, 36, 93, 8, 9	lhpjat2 35307	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
95	2, 4, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $.\/$
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
97		hlol 34648	. . . . . . . . . . 11
98	3, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10
99	28, 83, 93	olm11 34514	. . . . . . . . . 10 $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
100	98, 88, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $.\/$ $./\$ $.\/$
101	96, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
102	92, 101	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
103	86, 102	eqtrd 2656	. . . . . 6 $.\/$ $.\/$
104	82, 103	breqtrrd 4681	. . . . 5 $.\/$
105		dia2dimlem1.rf	. . . . . . 7 $.\/$
106	36, 8	hlatjcom 34654	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
107	3, 15, 21, 106	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$
108	105, 107	breqtrd 4679	. . . . . 6 $.\/$
109		dia2dimlem1.ru	. . . . . . 7
110	7, 36, 8	hlatexch2 34682	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
111	3, 13, 21, 15, 109, 110	syl131anc 1339	. . . . . 6 $.\/$ $.\/$
112	108, 111	mpd 15	. . . . 5 $.\/$
113	104, 112	jca 554	. . . 4 $.\/$ $/\$ $.\/$
114	7, 36, 83, 8	ps-2c 34814	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
115	3, 5, 13, 15, 19, 21, 53, 80, 113, 114	syl333anc 1358	. . 3 $.\/$ $./\$ $.\/$
116	1, 115	syl5eqel 2705	. 2
117	28, 36, 8	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$
118	3, 5, 15, 117	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $.\/$
119	28, 36, 8	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$
120	3, 19, 21, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $.\/$
121	28, 7, 83	latmle1 17076	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
122	27, 118, 120, 121	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
123	1, 122	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . 10 $.\/$
124	28, 8	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . 13
125	116, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
126	28, 7, 83	latlem12 17078	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$
127	27, 125, 118, 35, 126	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$
128	127	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$
129	123, 128	mpand 711	. . . . . . . . 9 $.\/$ $./\$
130	129	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $./\$
131		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13
132	7, 83, 131, 8, 9	lhpmat 35316	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $./\$
133	2, 4, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $./\$
134	133	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $./\$ $.\/$ $.\/$
135	28, 7, 36, 83, 8	atmod4i1 35152	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
136	3, 15, 41, 35, 25, 135	syl131anc 1339	. . . . . . . . . 10 $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
137	28, 36, 131	olj02 34513	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $.\/$
138	98, 32, 137	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $.\/$
139	134, 136, 138	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 $.\/$ $./\$
140	139	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $./\$
141	130, 140	breqtrd 4679	. . . . . . 7 $/\$
142		hlatl 34647	. . . . . . . . . 10
143	3, 142	syl 17	. . . . . . . . 9
144	143	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
145	116	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
146	15	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
147	7, 8	atcmp 34598	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
148	144, 145, 146, 147	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$
149	141, 148	mpbid 222	. . . . . 6 $/\$
150	28, 7, 83	latmle2 17077	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
151	27, 118, 120, 150	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
152	1, 151	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . 10 $.\/$
153	28, 7, 83	latlem12 17078	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$
154	27, 125, 120, 35, 153	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$
155	154	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$
156	152, 155	mpand 711	. . . . . . . . 9 $.\/$ $./\$
157	156	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $./\$
158	7, 83, 131, 8, 9	lhpmat 35316	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $./\$
159	2, 18, 158	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $./\$
160	159	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $./\$ $.\/$ $.\/$
161	28, 8	atbase 34576	. . . . . . . . . . . 12
162	19, 161	syl 17	. . . . . . . . . . 11
163	28, 7, 36, 83, 8	atmod4i1 35152	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
164	3, 21, 162, 35, 48, 163	syl131anc 1339	. . . . . . . . . 10 $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
165	28, 36, 131	olj02 34513	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $.\/$
166	98, 72, 165	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $.\/$
167	160, 164, 166	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 $.\/$ $./\$
168	167	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $./\$
169	157, 168	breqtrd 4679	. . . . . . 7 $/\$
170	21	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
171	7, 8	atcmp 34598	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
172	144, 145, 170, 171	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$
173	169, 172	mpbid 222	. . . . . 6 $/\$
174	149, 173	eqtr3d 2658	. . . . 5 $/\$
175	174	ex 450	. . . 4
176	175	necon3ad 2807	. . 3
177	65, 176	mpd 15	. 2
178	116, 177	jca 554	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

cjn 16944

cmee 16945

cp0 17037

cp1 17038

clat 17045

col 34461

catm 34550

cal 34551

chlt 34637

clh 35270

cltrn 35387

ctrl 35445

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-map 7859 df-preset 16928 df-poset 16946 df-plt 16958 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-p0 17039 df-p1 17040 df-lat 17046 df-clat 17108 df-oposet 34463 df-ol 34465 df-oml 34466 df-covers 34553 df-ats 34554 df-atl 34585 df-cvlat 34609 df-hlat 34638 df-llines 34784 df-psubsp 34789 df-pmap 34790 df-padd 35082 df-lhyp 35274 df-laut 35275 df-ldil 35390 df-ltrn 35391 df-trl 35446

This theorem is referenced by: dia2dimlem3 36355 dia2dimlem6 36358

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