Theorem diaglbN 36344

Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaglb.g	|- G = ( glb ` K )
diaglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
diaglb.i	|- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
diaglbN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, H   x, I   x, K   x, S   x, W

Proof of Theorem diaglbN

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		hlclat 34645	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
3	2	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> K e. CLat )
4		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
5		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
6		diaglb.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( LHyp ` K )
7		diaglb.i	. . . . . . . . . 10 |- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
8	4, 5, 6, 7	diadm 36324	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
9	8	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) )
10	9	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ dom I ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
11	10	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
12		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } C_ ( Base ` K )
13	11, 12	syl6ss 3615	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
14		diaglb.g	. . . . . 6 |- G = ( glb ` K )
15	4, 14	clatglbcl 17114	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
16	3, 13, 15	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
17		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
18		n0 3931	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
19	17, 18	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> E. x x e. S )
20		hllat 34650	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
21	20	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. Lat )
22	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
23		ssel2 3598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ dom I /\ x e. S ) -> x e. dom I )
24	23	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) /\ x e. S ) -> x e. dom I )
25	24	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. dom I )
26	4, 5, 6, 7	diaeldm 36325	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( x e. dom I <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) )
27	26	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. dom I <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) )
28	25, 27	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) )
29	28	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` K ) )
30	4, 6	lhpbase 35284	. . . . . . 7 |- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
31	30	ad3antlr 767	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> W e. ( Base ` K ) )
32	2	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. CLat )
33	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ ( Base ` K ) )
34		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. S )
35	4, 5, 14	clatglble 17125	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
37	28	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x ( le ` K ) W )
38	4, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37	lattrd 17058	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
39	19, 38	exlimddv 1863	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
40		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
41		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( trL ` K ) ` W ) = ( ( trL ` K ) ` W )
42	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 36322	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` S ) ( le ` K ) W ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) ) )
43	1, 16, 39, 42	syl12anc 1324	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) ) )
44		r19.28zv 4066	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
45	44	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
46		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
47	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 36322	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) -> ( f e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
48	46, 28, 47	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( f e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
49	48	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S f e. ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
50	2	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> K e. CLat )
51	4, 6, 40, 41	trlcl 35451	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
52	51	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
53	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
54	4, 5, 14	clatleglb 17126	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) <-> A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) )
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) <-> A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) )
56	55	pm5.32da 673	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
57	45, 49, 56	3bitr4rd 301	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) ) )
58		vex 3203	. . . . 5 |- f e. _V
59		eliin 4525	. . . . 5 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . 4 |- ( f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) )
61	57, 60	syl6bbr 278	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
62	43, 61	bitrd 268	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
63	62	eqrdv 2620	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   glbcglb 16943   Latclat 17045   CLatccla 17107   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445   DIsoAcdia 36317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-disoa 36318

This theorem is referenced by:  diameetN  36345  diaintclN  36347  dibglbN  36455