Theorem clatleglb 17126

Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	|- B = ( Base ` K )
clatglb.l	|- .<_ = ( le ` K )
clatglb.g	|- G = ( glb ` K )

Assertion

Ref	Expression
clatleglb	|- ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) -> ( X .<_ ( G ` S ) <-> A. y e. S X .<_ y ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, G   y, K   y, .<_   y, S   y, X

Proof of Theorem clatleglb

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglb.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
2		clatglb.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` K )
3		clatglb.g	. . . . . . 7 |- G = ( glb ` K )
4	1, 2, 3	clatglble 17125	. . . . . 6 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B /\ y e. S ) -> ( G ` S ) .<_ y )
5	4	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) /\ y e. S ) -> ( G ` S ) .<_ y )
6	5	3adantl2 1218	. . . 4 |- ( ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) /\ y e. S ) -> ( G ` S ) .<_ y )
7		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) /\ y e. S ) -> K e. CLat )
8		clatl 17116	. . . . . 6 |- ( K e. CLat -> K e. Lat )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) /\ y e. S ) -> K e. Lat )
10		simpl2 1065	. . . . 5 |- ( ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) /\ y e. S ) -> X e. B )
11	1, 3	clatglbcl 17114	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> ( G ` S ) e. B )
12	11	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) -> ( G ` S ) e. B )
13	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) /\ y e. S ) -> ( G ` S ) e. B )
14		ssel 3597	. . . . . . 7 |- ( S C_ B -> ( y e. S -> y e. B ) )
15	14	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) -> ( y e. S -> y e. B ) )
16	15	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) /\ y e. S ) -> y e. B )
17	1, 2	lattr 17056	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ ( G ` S ) e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .<_ ( G ` S ) /\ ( G ` S ) .<_ y ) -> X .<_ y ) )
18	9, 10, 13, 16, 17	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) /\ y e. S ) -> ( ( X .<_ ( G ` S ) /\ ( G ` S ) .<_ y ) -> X .<_ y ) )
19	6, 18	mpan2d 710	. . 3 |- ( ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) /\ y e. S ) -> ( X .<_ ( G ` S ) -> X .<_ y ) )
20	19	ralrimdva 2969	. 2 |- ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) -> ( X .<_ ( G ` S ) -> A. y e. S X .<_ y ) )
21	1, 2, 3	clatglb 17124	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> ( A. y e. S ( G ` S ) .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( G ` S ) ) ) )
22	21	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( G ` S ) ) )
23		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = X -> ( z .<_ y <-> X .<_ y ) )
24	23	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( z = X -> ( A. y e. S z .<_ y <-> A. y e. S X .<_ y ) )
25		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = X -> ( z .<_ ( G ` S ) <-> X .<_ ( G ` S ) ) )
26	24, 25	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( z = X -> ( ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( G ` S ) ) <-> ( A. y e. S X .<_ y -> X .<_ ( G ` S ) ) ) )
27	26	rspccv 3306	. . . . . 6 |- ( A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( G ` S ) ) -> ( X e. B -> ( A. y e. S X .<_ y -> X .<_ ( G ` S ) ) ) )
28	22, 27	syl 17	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> ( X e. B -> ( A. y e. S X .<_ y -> X .<_ ( G ` S ) ) ) )
29	28	ex 450	. . . 4 |- ( K e. CLat -> ( S C_ B -> ( X e. B -> ( A. y e. S X .<_ y -> X .<_ ( G ` S ) ) ) ) )
30	29	com23 86	. . 3 |- ( K e. CLat -> ( X e. B -> ( S C_ B -> ( A. y e. S X .<_ y -> X .<_ ( G ` S ) ) ) ) )
31	30	3imp 1256	. 2 |- ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) -> ( A. y e. S X .<_ y -> X .<_ ( G ` S ) ) )
32	20, 31	impbid 202	1 |- ( ( K e. CLat /\ X e. B /\ S C_ B ) -> ( X .<_ ( G ` S ) <-> A. y e. S X .<_ y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   glbcglb 16943   Latclat 17045   CLatccla 17107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-oprab 6654  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-lat 17046  df-clat 17108

This theorem is referenced by:  clatglbss  17127  pmapglbx  35055  diaglbN  36344  dihglblem2N  36583  dihglbcpreN  36589  dihglblem6  36629  dochvalr  36646