Theorem dibglbN 36455

Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibglb.g	|- G = ( glb ` K )
dibglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
dibglb.i	|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
dibglbN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, H   x, K   x, S   x, W

Allowed substitution hint:   I( x)

Proof of Theorem dibglbN

Dummy variables f s h y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		simprl 794	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ dom I )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
5		dibglb.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
6		dibglb.i	. . . . . 6 |- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
7	3, 4, 5, 6	dibdmN 36446	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
8	7	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) )
9	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) )
10	2, 9	mpbid 222	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
11		simprr 796	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
12	5, 6	dibvalrel 36452	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` ( G ` S ) ) )
13	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel ( I ` ( G ` S ) ) )
14		n0 3931	. . . . . . . 8 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
15	14	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( S =/= (/) -> E. x x e. S )
16	15	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x x e. S )
17	5, 6	dibvalrel 36452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` x ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel ( I ` x ) )
19	18	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( x e. S -> Rel ( I ` x ) ) )
20	19	ancld 576	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( x e. S -> ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) ) )
21	20	eximdv 1846	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( E. x x e. S -> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) ) )
22	16, 21	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) )
23		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. x e. S Rel ( I ` x ) <-> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) )
24	22, 23	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x e. S Rel ( I ` x ) )
25		reliin 5240	. . . 4 |- ( E. x e. S Rel ( I ` x ) -> Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) )
26	24, 25	syl 17	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) )
27		id 22	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) )
28		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
29		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
31	3, 4, 5, 30	diadm 36324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
33	29, 32	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) )
34		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
35		dibglb.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( glb ` K )
36	35, 5, 30	diaglbN 36344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) )
37	28, 33, 34, 36	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) )
38	37	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) )
39		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
40		eliin 4525	. . . . . . . . 9 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) )
42	38, 41	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) )
43	42	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
44		r19.27zv 4071	. . . . . . 7 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
45	44	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
46	43, 45	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
47		hlclat 34645	. . . . . . . 8 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> K e. CLat )
49		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } C_ ( Base ` K )
50	29, 49	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
51	3, 35	clatglbcl 17114	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
52	48, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
53		hllat 34650	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
54	53	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. Lat )
55	47	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. CLat )
56		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
57	56, 49	syl6ss 3615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ ( Base ` K ) )
58	55, 57, 51	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
59	50	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` K ) )
60	3, 5	lhpbase 35284	. . . . . . . . 9 |- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
61	60	ad3antlr 767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> W e. ( Base ` K ) )
62		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. S )
63	3, 4, 35	clatglble 17125	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
64	55, 57, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
65	29	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
66		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( y ( le ` K ) W <-> x ( le ` K ) W ) )
67	66	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) )
68	65, 67	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) )
69	68	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x ( le ` K ) W )
70	3, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69	lattrd 17058	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
71	16, 70	exlimddv 1863	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
72		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
73		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) )
74	3, 4, 5, 72, 73, 30, 6	dibopelval2 36434	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` S ) ( le ` K ) W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
75	28, 52, 71, 74	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
76		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. f , s >. e. _V
77		eliin 4525	. . . . . . 7 |- ( <. f , s >. e. _V -> ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) )
79		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
80	3, 4, 5, 72, 73, 30, 6	dibopelval2 36434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
81	79, 68, 80	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
82	81	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
83	78, 82	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
84	46, 75, 83	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
85	84	eqrelrdv2 5219	. . 3 |- ( ( ( Rel ( I ` ( G ` S ) ) /\ Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) ) /\ ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )
86	13, 26, 27, 85	syl21anc 1325	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )
87	1, 10, 11, 86	syl12anc 1324	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   dom cdm 5114   |` cres 5116   Rel wrel 5119   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   glbcglb 16943   Latclat 17045   CLatccla 17107   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   DIsoAcdia 36317   DIsoBcdib 36427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-disoa 36318  df-dib 36428

This theorem is referenced by:  dibintclN  36456  dihglblem3N  36584  dihmeetlem2N  36588