Theorem clatglbcl 17114

Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglbcl.b	|- B = ( Base ` K )
clatglbcl.g	|- G = ( glb ` K )

Assertion

Ref	Expression
clatglbcl	|- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> ( G ` S ) e. B )

Proof of Theorem clatglbcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglbcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
3		clatglbcl.g	. . 3 |- G = ( glb ` K )
4	1, 2, 3	clatlem 17111	. 2 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> ( ( ( lub ` K ) ` S ) e. B /\ ( G ` S ) e. B ) )
5	4	simprd 479	1 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> ( G ` S ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lubclub 16942   glbcglb 16943   CLatccla 17107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-lub 16974  df-glb 16975  df-clat 17108

This theorem is referenced by:  clatleglb  17126  clatglbss  17127  clatp0cl  29671  glbconN  34663  pmapglbx  35055  diaglbN  36344  diaintclN  36347  dibglbN  36455  dibintclN  36456  dihglblem2N  36583  dihglblem3N  36584  dihglblem4  36586  dihglbcpreN  36589  dihglblem6  36629  dihintcl  36633  dochval2  36641  dochcl  36642  dochvalr  36646  dochss  36654