Theorem dib1dim 36454

Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of vector space H. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib1dim.b	|- B = ( Base ` K )
dib1dim.h	|- H = ( LHyp ` K )
dib1dim.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dib1dim.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
dib1dim.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dib1dim.o	|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
dib1dim.i	|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
dib1dim	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( I ` ( R ` F ) ) = { g e. ( T X. E ) | E. s e. E g = <. ( s ` F ) , O >. } )

Distinct variable groups:   B, h   g, s, E   g, F, s   H, s   h, s, K   g, O, s   R, s   g, h, T, s   h, W, s

Allowed substitution hints:   B( g, s)   R( g, h)   E( h)   F( h)   H( g, h)   I( g, h, s)   K( g)   O( h)   W( g)

Proof of Theorem dib1dim

Dummy variables f t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		dib1dim.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
3		dib1dim.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
4		dib1dim.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5		dib1dim.r	. . . . 5 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
6	2, 3, 4, 5	trlcl 35451	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) e. B )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
8	7, 3, 4, 5	trlle 35471	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) ( le ` K ) W )
9		dib1dim.o	. . . . 5 |- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
11		dib1dim.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
12	2, 7, 3, 4, 9, 10, 11	dibval2 36433	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( R ` F ) e. B /\ ( R ` F ) ( le ` K ) W ) ) -> ( I ` ( R ` F ) ) = ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( R ` F ) ) X. { O } ) )
13	1, 6, 8, 12	syl12anc 1324	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( I ` ( R ` F ) ) = ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( R ` F ) ) X. { O } ) )
14		relxp 5227	. . . 4 |- Rel ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( R ` F ) ) X. { O } )
15		opelxp 5146	. . . . 5 |- ( <. f , t >. e. ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( R ` F ) ) X. { O } ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( R ` F ) ) /\ t e. { O } ) )
16		dib1dim.e	. . . . . . . . 9 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
17	3, 4, 5, 16, 10	dia1dim 36350	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( R ` F ) ) = { f | E. s e. E f = ( s ` F ) } )
18	17	abeq2d 2734	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( R ` F ) ) <-> E. s e. E f = ( s ` F ) ) )
19	18	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( R ` F ) ) /\ t e. { O } ) <-> ( E. s e. E f = ( s ` F ) /\ t e. { O } ) ) )
20	3, 4, 16	tendocl 36055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ F e. T ) -> ( s ` F ) e. T )
21	20	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) /\ F e. T ) -> ( s ` F ) e. T )
22	21	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ s e. E ) -> ( s ` F ) e. T )
23	2, 3, 4, 16, 9	tendo0cl 36078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> O e. E )
24	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ s e. E ) -> O e. E )
25	22, 24	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ s e. E ) -> ( ( s ` F ) e. T /\ O e. E ) )
26		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( s ` F ) -> ( f e. T <-> ( s ` F ) e. T ) )
27		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = O -> ( t e. E <-> O e. E ) )
28	26, 27	bi2anan9 917	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) -> ( ( f e. T /\ t e. E ) <-> ( ( s ` F ) e. T /\ O e. E ) ) )
29	25, 28	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ s e. E ) -> ( ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) -> ( f e. T /\ t e. E ) ) )
30	29	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) -> ( f e. T /\ t e. E ) ) )
31	30	pm4.71rd 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) <-> ( ( f e. T /\ t e. E ) /\ E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) ) ) )
32		velsn 4193	. . . . . . . . 9 |- ( t e. { O } <-> t = O )
33	32	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( E. s e. E f = ( s ` F ) /\ t e. { O } ) <-> ( E. s e. E f = ( s ` F ) /\ t = O ) )
34		r19.41v 3089	. . . . . . . 8 |- ( E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) <-> ( E. s e. E f = ( s ` F ) /\ t = O ) )
35	33, 34	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( ( E. s e. E f = ( s ` F ) /\ t e. { O } ) <-> E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) )
36		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( f e. T /\ t e. E /\ E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) ) <-> ( ( f e. T /\ t e. E ) /\ E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) ) )
37	31, 35, 36	3bitr4g 303	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( ( E. s e. E f = ( s ` F ) /\ t e. { O } ) <-> ( f e. T /\ t e. E /\ E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) ) ) )
38	19, 37	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( R ` F ) ) /\ t e. { O } ) <-> ( f e. T /\ t e. E /\ E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) ) ) )
39	15, 38	syl5bb 272	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( <. f , t >. e. ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( R ` F ) ) X. { O } ) <-> ( f e. T /\ t e. E /\ E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) ) ) )
40	14, 39	opabbi2dv 5271	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( R ` F ) ) X. { O } ) = { <. f , t >. | ( f e. T /\ t e. E /\ E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) ) } )
41	13, 40	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( I ` ( R ` F ) ) = { <. f , t >. | ( f e. T /\ t e. E /\ E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) ) } )
42		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( g = <. f , t >. -> ( g = <. ( s ` F ) , O >. <-> <. f , t >. = <. ( s ` F ) , O >. ) )
43		vex 3203	. . . . . 6 |- f e. _V
44		vex 3203	. . . . . 6 |- t e. _V
45	43, 44	opth 4945	. . . . 5 |- ( <. f , t >. = <. ( s ` F ) , O >. <-> ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) )
46	42, 45	syl6bb 276	. . . 4 |- ( g = <. f , t >. -> ( g = <. ( s ` F ) , O >. <-> ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) ) )
47	46	rexbidv 3052	. . 3 |- ( g = <. f , t >. -> ( E. s e. E g = <. ( s ` F ) , O >. <-> E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) ) )
48	47	rabxp 5154	. 2 |- { g e. ( T X. E ) | E. s e. E g = <. ( s ` F ) , O >. } = { <. f , t >. | ( f e. T /\ t e. E /\ E. s e. E ( f = ( s ` F ) /\ t = O ) ) }
49	41, 48	syl6eqr 2674	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( I ` ( R ` F ) ) = { g e. ( T X. E ) | E. s e. E g = <. ( s ` F ) , O >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445   TEndoctendo 36040   DIsoAcdia 36317   DIsoBcdib 36427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043  df-disoa 36318  df-dib 36428

This theorem is referenced by:  dib1dim2  36457