Theorem dib0 36453

Description: The value of partial isomorphism B at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 27-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib0.z	|- .0. = ( 0. ` K )
dib0.h	|- H = ( LHyp ` K )
dib0.i	|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
dib0.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dib0.o	|- O = ( 0g ` U )

Assertion

Ref	Expression
dib0	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( I ` .0. ) = { O } )

Proof of Theorem dib0

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . 4 |- ( Base ` K ) e. _V
2		resiexg 7102	. . . 4 |- ( ( Base ` K ) e. _V -> ( _I |` ( Base ` K ) ) e. _V )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ( _I |` ( Base ` K ) ) e. _V
4		fvex 6201	. . . 4 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) e. _V
5	4	mptex 6486	. . 3 |- ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) e. _V
6	3, 5	xpsn 6407	. 2 |- ( { ( _I |` ( Base ` K ) ) } X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) } ) = { <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) >. }
7		id 22	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8		hlop 34649	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. OP )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> K e. OP )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
11		dib0.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0. ` K )
12	10, 11	op0cl 34471	. . . . 5 |- ( K e. OP -> .0. e. ( Base ` K ) )
13	9, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> .0. e. ( Base ` K ) )
14		dib0.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
15	10, 14	lhpbase 35284	. . . . 5 |- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
16		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
17	10, 16, 11	op0le 34473	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ W e. ( Base ` K ) ) -> .0. ( le ` K ) W )
18	8, 15, 17	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> .0. ( le ` K ) W )
19		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
20		eqid 2622	. . . . 5 |- ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) = ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) )
21		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
22		dib0.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
23	10, 16, 14, 19, 20, 21, 22	dibval2 36433	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( .0. e. ( Base ` K ) /\ .0. ( le ` K ) W ) ) -> ( I ` .0. ) = ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` .0. ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) } ) )
24	7, 13, 18, 23	syl12anc 1324	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( I ` .0. ) = ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` .0. ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) } ) )
25	10, 11, 14, 21	dia0 36341	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` .0. ) = { ( _I |` ( Base ` K ) ) } )
26	25	xpeq1d 5138	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` .0. ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) } ) = ( { ( _I |` ( Base ` K ) ) } X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) } ) )
27	24, 26	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( I ` .0. ) = ( { ( _I |` ( Base ` K ) ) } X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) } ) )
28		dib0.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
29		dib0.o	. . . 4 |- O = ( 0g ` U )
30	10, 14, 19, 28, 29, 20	dvh0g 36400	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> O = <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) >. )
31	30	sneqd 4189	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> { O } = { <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) >. } )
32	6, 27, 31	3eqtr4a 2682	1 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( I ` .0. ) = { O } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   0gc0g 16100   0.cp0 17037   OPcops 34459   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   DIsoAcdia 36317   DVecHcdvh 36367   DIsoBcdib 36427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428

This theorem is referenced by:  dihvalcqat  36528  dih0  36569