elfuns - Mathbox for Scott Fenton

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Theorem elfuns 32022

Description: Membership in the class of all functions. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
elfuns.1

**Assertion**
Ref	Expression
elfuns

Proof of Theorem elfuns Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrel 5222	. . . . . . . . . . 11 $/\$
2	1	ex 450	. . . . . . . . . 10
3		elrel 5222	. . . . . . . . . . 11 $/\$
4	3	ex 450	. . . . . . . . . 10
5	2, 4	anim12d 586	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6	5	adantrd 484	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
7	6	pm4.71rd 667	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
8		19.41vvvv 1917	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
9		ee4anv 2184	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
10	9	anbi1i 731	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
11	8, 10	bitr2i 265	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
12	7, 11	syl6bb 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
13	12	2exbidv 1852	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
14		excom13 2044	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
15		excom13 2044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
16		exrot4 2046	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
17		excom 2042	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
18		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
19	18	2exbii 1775	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
20		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23	22	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
24		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
25	23, 24	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$
26		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	26	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
28		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
29		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	21, 29, 30	brtxp 31987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $/\$ $\$
32		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
33		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
34	32, 33	br1steq 31670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35		equcom 1945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
36	34, 35	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
37	21, 30	brco 5292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $/\$ $\$
38	32, 33	br2ndeq 31671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
39	38	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\$ $/\$ $\$
40	39	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\$ $/\$ $\$
41		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $\$
42		brv 4941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
43		brdif 4705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\$ $/\$
44	42, 43	mpbiran 953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\$
45	30	ideq 5274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
46		equcom 1945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
47	45, 46	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
48	47	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
49	44, 48	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$
50	41, 49	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$
51	50	equsexvw 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\$
52	37, 40, 51	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
53	36, 52	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\$ $/\$
54	31, 53	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$
55	28, 54	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$
56	27, 55	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		an12 838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	20, 21, 25, 58	ceqsex2v 3245	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	19, 59	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	62	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16
64	63	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
65	64	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	equsexvw 1932	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	61, 66	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
68	67	exbii 1774	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
69		exanali 1786	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70	68, 69	bitri 264	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
71	16, 17, 70	3bitri 286	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
72	71	exbii 1774	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
73		exnal 1754	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	15, 72, 73	3bitri 286	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
75	74	exbii 1774	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
76		exnal 1754	. . . . . 6 $/\$ $/\$
77	14, 75, 76	3bitri 286	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
78	13, 77	syl6bb 276	. . . 4 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
79	78	con2bid 344	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
80	79	pm5.32i 669	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
81		dffun4 5900	. 2 $/\$ $/\$
82		df-funs 31968	. . . 4 $\$ $\$
83	82	eleq2i 2693	. . 3 $\$ $\$
84		eldif 3584	. . 3 $\$ $\$ $/\$ $\$
85		elfuns.1	. . . . . 6
86	85	elpw 4164	. . . . 5
87		df-rel 5121	. . . . 5
88	86, 87	bitr4i 267	. . . 4
89	85	elfix 32010	. . . . . 6 $\$ $\$
90	85, 85	coep 31641	. . . . . . 7 $\$ $\$
91		vex 3203	. . . . . . . . 9
92	85, 91	coepr 31642	. . . . . . . 8 $\$ $\$
93	92	rexbii 3041	. . . . . . 7 $\$ $\$
94	90, 93	bitri 264	. . . . . 6 $\$ $\$
95		r2ex 3061	. . . . . 6 $\$ $/\$ $/\$ $\$
96	89, 94, 95	3bitri 286	. . . . 5 $\$ $/\$ $/\$ $\$
97	96	notbii 310	. . . 4 $\$ $/\$ $/\$ $\$
98	88, 97	anbi12i 733	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
99	83, 84, 98	3bitri 286	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
100	80, 81, 99	3bitr4ri 293	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wal 1481

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wrex 2913

cvv 3200 $\$ cdif 3571

wss 3574

cpw 4158

cop 4183 class class class wbr 4653

cid 5023

cep 5028

cxp 5112

ccnv 5113

ccom 5118

wrel 5119

wfun 5882

c1st 7166

c2nd 7167

ctxp 31937

cfix 31942

cfuns 31944

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-eprel 5029 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-fo 5894 df-fv 5896 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-txp 31961 df-fix 31966 df-funs 31968

This theorem is referenced by: elfunsg 32023 dfrecs2 32057 dfrdg4 32058

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