Theorem elicc3 32311

Description: An equivalent membership condition for closed intervals. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
elicc3	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ B /\ ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) ) )

Proof of Theorem elicc3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 12219	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
2		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> C e. RR* )
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> C e. RR* ) )
4		xrletr 11989	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ C /\ C <_ B ) -> A <_ B ) )
5	4	exp5o 1286	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( C e. RR* -> ( B e. RR* -> ( A <_ C -> ( C <_ B -> A <_ B ) ) ) ) )
6	5	com23 86	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> ( B e. RR* -> ( C e. RR* -> ( A <_ C -> ( C <_ B -> A <_ B ) ) ) ) )
7	6	imp5q 32306	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> A <_ B ) )
8		df-ne 2795	. . . . . . . . . 10 |- ( C =/= A <-> -. C = A )
9		xrleltne 11978	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ A <_ C ) -> ( A < C <-> C =/= A ) )
10	9	biimprd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ A <_ C ) -> ( C =/= A -> A < C ) )
11	8, 10	syl5bir 233	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ A <_ C ) -> ( -. C = A -> A < C ) )
12	11	3adant3r3 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( -. C = A -> A < C ) )
13	12	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( -. C = A -> A < C ) )
14		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C = B <-> B = C )
15	14	necon3bbii 2841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. C = B <-> B =/= C )
16		xrleltne 11978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ C <_ B ) -> ( C < B <-> B =/= C ) )
17	16	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ C <_ B ) -> ( B =/= C -> C < B ) )
18	15, 17	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ C <_ B ) -> ( -. C = B -> C < B ) )
19	18	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. RR* -> ( B e. RR* -> ( C <_ B -> ( -. C = B -> C < B ) ) ) )
20	19	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR* -> ( C e. RR* -> ( C <_ B -> ( -. C = B -> C < B ) ) ) )
21	20	imp32 449	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ ( C e. RR* /\ C <_ B ) ) -> ( -. C = B -> C < B ) )
22	21	3adantr2 1221	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( -. C = B -> C < B ) )
23	22	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( -. C = B -> C < B ) )
24	13, 23	anim12d 586	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( ( -. C = A /\ -. C = B ) -> ( A < C /\ C < B ) ) )
25	24	ex 450	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( ( -. C = A /\ -. C = B ) -> ( A < C /\ C < B ) ) ) )
26		df-or 385	. . . . . 6 |- ( ( C = A \/ ( ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) <-> ( -. C = A -> ( ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) )
27		3orass 1040	. . . . . 6 |- ( ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) <-> ( C = A \/ ( ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) )
28		pm5.6 951	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. C = A /\ -. C = B ) -> ( A < C /\ C < B ) ) <-> ( -. C = A -> ( C = B \/ ( A < C /\ C < B ) ) ) )
29		orcom 402	. . . . . . . 8 |- ( ( C = B \/ ( A < C /\ C < B ) ) <-> ( ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) )
30	29	imbi2i 326	. . . . . . 7 |- ( ( -. C = A -> ( C = B \/ ( A < C /\ C < B ) ) ) <-> ( -. C = A -> ( ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) )
31	28, 30	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( ( -. C = A /\ -. C = B ) -> ( A < C /\ C < B ) ) <-> ( -. C = A -> ( ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) )
32	26, 27, 31	3bitr4ri 293	. . . . 5 |- ( ( ( -. C = A /\ -. C = B ) -> ( A < C /\ C < B ) ) <-> ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) )
33	25, 32	syl6ib 241	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) )
34	3, 7, 33	3jcad 1243	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C e. RR* /\ A <_ B /\ ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) ) )
35		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( C e. RR* /\ A <_ B /\ ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) -> C e. RR* )
36	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ B /\ ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) -> C e. RR* ) )
37		xrleid 11983	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> A <_ A )
38	37	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> A <_ A )
39		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> ( A <_ C <-> A <_ A ) )
40	38, 39	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( C = A -> A <_ C ) )
41		xrltle 11982	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A < C -> A <_ C ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A < C -> A <_ C ) )
43	42	adantllr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( A < C -> A <_ C ) )
44	43	adantrd 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( ( A < C /\ C < B ) -> A <_ C ) )
45		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> A <_ B )
46		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( C = B -> ( A <_ C <-> A <_ B ) )
47	45, 46	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( C = B -> A <_ C ) )
48	40, 44, 47	3jaod 1392	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) -> A <_ C ) )
49	48	exp31 630	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. RR* -> ( A <_ B -> ( ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) -> A <_ C ) ) ) )
50	49	3impd 1281	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ B /\ ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) -> A <_ C ) )
51		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> ( C <_ B <-> A <_ B ) )
52	45, 51	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( C = A -> C <_ B ) )
53		xrltle 11982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C < B -> C <_ B ) )
54	53	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C < B -> C <_ B ) )
55	54	adantld 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A < C /\ C < B ) -> C <_ B ) )
56	55	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) -> ( ( A < C /\ C < B ) -> C <_ B ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( ( A < C /\ C < B ) -> C <_ B ) )
58		xrleid 11983	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
59	58	ad3antlr 767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> B <_ B )
60		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( C = B -> ( C <_ B <-> B <_ B ) )
61	59, 60	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( C = B -> C <_ B ) )
62	52, 57, 61	3jaod 1392	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. RR* ) /\ A <_ B ) -> ( ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) -> C <_ B ) )
63	62	exp31 630	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. RR* -> ( A <_ B -> ( ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) -> C <_ B ) ) ) )
64	63	3impd 1281	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ B /\ ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) -> C <_ B ) )
65	36, 50, 64	3jcad 1243	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ B /\ ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) -> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
66	34, 65	impbid 202	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ B /\ ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) ) )
67	1, 66	bitrd 268	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ B /\ ( C = A \/ ( A < C /\ C < B ) \/ C = B ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  ivthALT  32330