finminlem - Mathbox for Jeff Hankins

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Theorem finminlem 32312

Description: A useful lemma about finite sets. If a property holds for a finite set, it holds for a minimal set. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Dec-2009.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
finminlem.1

**Assertion**
Ref	Expression
finminlem	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem finminlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 2027	. . . . 5 $/\$
2		nfcv 2764	. . . . 5
3	1, 2	nfrab 3123	. . . 4 $/\$
4		nfcv 2764	. . . 4
5	3, 4	nfne 2894	. . 3 $/\$
6		isfi 7979	. . . 4
7		19.8a 2052	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	anim2i 593	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	3impb 1260	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11
11	10	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
12	11	exbidv 1850	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13	12	elrab 3363	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
14	9, 13	sylibr 224	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
15		ne0i 3921	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	3exp 1264	. . . . 5 $/\$
18	17	rexlimiv 3027	. . . 4 $/\$
19	6, 18	sylbi 207	. . 3 $/\$
20	5, 19	rexlimi 3024	. 2 $/\$
21		epweon 6983	. . 3
22		ssrab2 3687	. . . 4 $/\$
23		omsson 7069	. . . 4
24	22, 23	sstri 3612	. . 3 $/\$
25		wefrc 5108	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	21, 24, 25	mp3an12 1414	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
27		nfv 1843	. . . . . . 7
28		nfcv 2764	. . . . . . . . 9
29	3, 28	nfin 3820	. . . . . . . 8 $/\$
30	29	nfeq1 2778	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 30	nfan 1828	. . . . . 6 $/\$ $/\$
32		simprr 796	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		sspss 3706	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$
34		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
35		pssss 3702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
36		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
37	35, 36	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
38	37	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
39	6, 38	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
40	34, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
41	40	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
42	41	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
43		isfi 7979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
44		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
48		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
49		finminlem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
50	48, 49	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
51	47, 50	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
52	45, 46, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	34, 6	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
54	53	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
55	54	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		php3 8146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
58	57	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
59	56, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
61		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
63		endomtr 8014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
64	63	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
65	64	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
66	65	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		ensym 8005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
68		domentr 8015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
69	67, 68	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$
70	69	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
71	70	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	66, 71	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	62, 72	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74		domnsym 8086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
75	74	con2i 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
76	73, 75	nsyli 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	59, 76	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	77	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		nnord 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
80	79	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		nnord 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
83	82	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		ordtri1 5756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
85	84	con2bid 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
86	80, 83, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	78, 86	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	44, 52, 87	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
90		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
91	90	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
92	91	exbidv 1850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
93	92	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	89, 94	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	88, 95	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98	exp44 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	43, 100	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	42, 102	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	necon2bd 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
106	105	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	107	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		equcomi 1944	. . . . . . . . . . . . . . 15
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	108, 110	jaod 395	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
112	33, 111	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	112	expr 643	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	com23 86	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	114	impd 447	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	alrimiv 1855	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	32, 116	jca 554	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	ex 450	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	31, 118	eximd 2085	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	impancom 456	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	13, 120	sylbi 207	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	121	rexlimiv 3027	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	20, 26, 122	3syl 18	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wal 1481

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

wpss 3575

c0 3915 class class class wbr 4653

cep 5028

wwe 5072

word 5722

con0 5723

com 7065

cen 7952

cdom 7953

csdm 7954

cfn 7955

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-om 7066 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959

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