Theorem qustgpopn 21923

Description: A quotient map in a topological group is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qustgp.h	|- H = ( G /.s ( G ~QG Y ) )
qustgpopn.x	|- X = ( Base ` G )
qustgpopn.j	|- J = ( TopOpen ` G )
qustgpopn.k	|- K = ( TopOpen ` H )
qustgpopn.f	|- F = ( x e. X |-> [ x ] ( G ~QG Y ) )

Assertion

Ref	Expression
qustgpopn	|- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( F " S ) e. K )

Distinct variable groups:   x, G   x, J   x, S   x, X   x, H   x, K   x, Y

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem qustgpopn

Dummy variables a u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5477	. . . 4 |- ( F " S ) C_ ran F
2		qustgp.h	. . . . . . 7 |- H = ( G /.s ( G ~QG Y ) )
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> H = ( G /.s ( G ~QG Y ) ) )
4		qustgpopn.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> X = ( Base ` G ) )
6		qustgpopn.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. X |-> [ x ] ( G ~QG Y ) )
7		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( G ~QG Y ) e. _V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( G ~QG Y ) e. _V )
9		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> G e. TopGrp )
10	3, 5, 6, 8, 9	quslem 16203	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG Y ) ) )
11		forn 6118	. . . . 5 |- ( F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG Y ) ) -> ran F = ( X /. ( G ~QG Y ) ) )
12	10, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ran F = ( X /. ( G ~QG Y ) ) )
13	1, 12	syl5sseq 3653	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( F " S ) C_ ( X /. ( G ~QG Y ) ) )
14		eceq1 7782	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> [ x ] ( G ~QG Y ) = [ y ] ( G ~QG Y ) )
15	14	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X |-> [ x ] ( G ~QG Y ) ) = ( y e. X |-> [ y ] ( G ~QG Y ) )
16	6, 15	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- F = ( y e. X |-> [ y ] ( G ~QG Y ) )
17	16	mptpreima 5628	. . . . . . 7 |- ( `' F " ( F " S ) ) = { y e. X | [ y ] ( G ~QG Y ) e. ( F " S ) }
18	17	rabeq2i 3197	. . . . . 6 |- ( y e. ( `' F " ( F " S ) ) <-> ( y e. X /\ [ y ] ( G ~QG Y ) e. ( F " S ) ) )
19	6	funmpt2 5927	. . . . . . . . 9 |- Fun F
20		fvelima 6248	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ [ y ] ( G ~QG Y ) e. ( F " S ) ) -> E. z e. S ( F ` z ) = [ y ] ( G ~QG Y ) )
21	19, 20	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( [ y ] ( G ~QG Y ) e. ( F " S ) -> E. z e. S ( F ` z ) = [ y ] ( G ~QG Y ) )
22		qustgpopn.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J = ( TopOpen ` G )
23	22, 4	tgptopon 21886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )
24	9, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> J e. (TopOn ` X ) )
25		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> S e. J )
26		toponss 20731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S e. J ) -> S C_ X )
27	24, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> S C_ X )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) -> S C_ X )
29	28	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> z e. X )
30		eceq1 7782	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> [ x ] ( G ~QG Y ) = [ z ] ( G ~QG Y ) )
31		ecexg 7746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ~QG Y ) e. _V -> [ z ] ( G ~QG Y ) e. _V )
32	7, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [ z ] ( G ~QG Y ) e. _V
33	30, 6, 32	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. X -> ( F ` z ) = [ z ] ( G ~QG Y ) )
34	29, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> ( F ` z ) = [ z ] ( G ~QG Y ) )
35	34	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` z ) = [ y ] ( G ~QG Y ) <-> [ z ] ( G ~QG Y ) = [ y ] ( G ~QG Y ) ) )
36		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ z ] ( G ~QG Y ) = [ y ] ( G ~QG Y ) <-> [ y ] ( G ~QG Y ) = [ z ] ( G ~QG Y ) )
37	35, 36	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` z ) = [ y ] ( G ~QG Y ) <-> [ y ] ( G ~QG Y ) = [ z ] ( G ~QG Y ) ) )
38		nsgsubg 17626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
39	38	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
40	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> Y e. (SubGrp ` G ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G ~QG Y ) = ( G ~QG Y )
42	4, 41	eqger 17644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( G ~QG Y ) Er X )
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> ( G ~QG Y ) Er X )
44		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> y e. X )
45	43, 44	erth 7791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> ( y ( G ~QG Y ) z <-> [ y ] ( G ~QG Y ) = [ z ] ( G ~QG Y ) ) )
46	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> G e. TopGrp )
47	4	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> Y C_ X )
48	40, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> Y C_ X )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
51	4, 49, 50, 41	eqgval 17643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y C_ X ) -> ( y ( G ~QG Y ) z <-> ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) )
52	46, 48, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> ( y ( G ~QG Y ) z <-> ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) )
53	37, 45, 52	3bitr2d 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` z ) = [ y ] ( G ~QG Y ) <-> ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (oppg ` G ) = (oppg ` G )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( +g ` (oppg ` G ) ) = ( +g ` (oppg ` G ) )
56	50, 54, 55	oppgplus 17779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ( +g ` (oppg ` G ) ) a ) = ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) )
57	56	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. X |-> ( ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ( +g ` (oppg ` G ) ) a ) ) = ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) )
58	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> G e. TopGrp )
59	54	oppgtgp 21902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G e. TopGrp -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
61	48	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. X )
62		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. X |-> ( ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ( +g ` (oppg ` G ) ) a ) ) = ( a e. X |-> ( ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ( +g ` (oppg ` G ) ) a ) )
63	54, 4	oppgbas 17781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X = ( Base ` (oppg ` G ) )
64	54, 22	oppgtopn 17783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- J = ( TopOpen ` (oppg ` G ) )
65	62, 63, 55, 64	tgplacthmeo 21907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (oppg ` G ) e. TopGrp /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. X ) -> ( a e. X |-> ( ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ( +g ` (oppg ` G ) ) a ) ) e. ( J Homeo J ) )
66	60, 61, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( a e. X |-> ( ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ( +g ` (oppg ` G ) ) a ) ) e. ( J Homeo J ) )
67	57, 66	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. ( J Homeo J ) )
68		hmeocn 21563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. ( J Homeo J ) -> ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. ( J Cn J ) )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. ( J Cn J ) )
70	25	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> S e. J )
71		cnima 21069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. ( J Cn J ) /\ S e. J ) -> ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) e. J )
72	69, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) e. J )
73	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> y e. X )
74		tgpgrp 21882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
75	58, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> G e. Grp )
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
77	4, 50, 76, 49	grprinv 17469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( 0g ` G ) )
78	75, 73, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( 0g ` G ) )
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) )
80	4, 49	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
81	75, 73, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
82	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> z e. X )
83	4, 50	grpass 17431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ ( y e. X /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) )
84	75, 73, 81, 82, 83	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) )
85	4, 50, 76	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) = z )
86	75, 82, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) = z )
87	79, 84, 86	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = z )
88		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> z e. S )
89	87, 88	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. S )
90		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = y -> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) )
91	90	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = y -> ( ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. S <-> ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. S ) )
92		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) = ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) )
93	92	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) = { a e. X | ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. S }
94	91, 93	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) <-> ( y e. X /\ ( y ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. S ) )
95	73, 89, 94	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> y e. ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) )
96		ecexg 7746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G ~QG Y ) e. _V -> [ x ] ( G ~QG Y ) e. _V )
97	7, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [ x ] ( G ~QG Y ) e. _V
98	97, 6	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F Fn X
99	28	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> S C_ X )
100		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F Fn X /\ S C_ X /\ ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. S ) -> ( F ` ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. ( F " S ) )
101	100	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn X /\ S C_ X ) -> ( ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. S -> ( F ` ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. ( F " S ) ) )
102	98, 99, 101	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. S -> ( F ` ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. ( F " S ) ) )
103	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> G e. Grp )
104		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> a e. X )
105	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. X )
106	4, 50	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G e. Grp /\ a e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. X ) -> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. X )
107	103, 104, 105, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. X )
108		eceq1 7782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) -> [ x ] ( G ~QG Y ) = [ ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ] ( G ~QG Y ) )
109	108, 6, 97	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. X -> ( F ` ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) = [ ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ] ( G ~QG Y ) )
110	107, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( F ` ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) = [ ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ] ( G ~QG Y ) )
111	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( G ~QG Y ) Er X )
112	4, 50, 76, 49	grplinv 17468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G e. Grp /\ a e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) )
113	103, 104, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) )
114	113	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) a ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) )
115	4, 49	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G e. Grp /\ a e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` a ) e. X )
116	103, 104, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` a ) e. X )
117	4, 50	grpass 17431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` a ) e. X /\ a e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) a ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) )
118	103, 116, 104, 105, 117	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) a ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) )
119	4, 50, 76	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. X ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) )
120	103, 105, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) )
121	114, 118, 120	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) )
122		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y )
123	121, 122	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. Y )
124	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> Y C_ X )
125	4, 49, 50, 41	eqgval 17643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( G e. Grp /\ Y C_ X ) -> ( a ( G ~QG Y ) ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) <-> ( a e. X /\ ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. Y ) ) )
126	103, 124, 125	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( a ( G ~QG Y ) ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) <-> ( a e. X /\ ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. Y ) ) )
127	104, 107, 123, 126	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> a ( G ~QG Y ) ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) )
128	111, 127	erthi 7793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> [ a ] ( G ~QG Y ) = [ ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ] ( G ~QG Y ) )
129	110, 128	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( F ` ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) = [ a ] ( G ~QG Y ) )
130	129	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( F ` ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) e. ( F " S ) <-> [ a ] ( G ~QG Y ) e. ( F " S ) ) )
131	102, 130	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) /\ a e. X ) -> ( ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. S -> [ a ] ( G ~QG Y ) e. ( F " S ) ) )
132	131	ss2rabdv 3683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> { a e. X | ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) e. S } C_ { a e. X | [ a ] ( G ~QG Y ) e. ( F " S ) } )
133		eceq1 7782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> [ x ] ( G ~QG Y ) = [ a ] ( G ~QG Y ) )
134	133	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X |-> [ x ] ( G ~QG Y ) ) = ( a e. X |-> [ a ] ( G ~QG Y ) )
135	6, 134	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( a e. X |-> [ a ] ( G ~QG Y ) )
136	135	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' F " ( F " S ) ) = { a e. X | [ a ] ( G ~QG Y ) e. ( F " S ) }
137	132, 93, 136	3sstr4g 3646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) C_ ( `' F " ( F " S ) ) )
138		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) -> ( y e. u <-> y e. ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) ) )
139		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) -> ( u C_ ( `' F " ( F " S ) ) <-> ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) )
140	138, 139	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) -> ( ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) <-> ( y e. ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) /\ ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) ) )
141	140	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) e. J /\ ( y e. ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) /\ ( `' ( a e. X |-> ( a ( +g ` G ) ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) ) ) " S ) C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) ) -> E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) )
142	72, 95, 137, 141	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) )
143	142	3ad2antr3 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) /\ ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) ) -> E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) )
144	143	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> ( ( y e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) z ) e. Y ) -> E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) ) )
145	53, 144	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` z ) = [ y ] ( G ~QG Y ) -> E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) ) )
146	145	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) -> ( E. z e. S ( F ` z ) = [ y ] ( G ~QG Y ) -> E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) ) )
147	21, 146	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ y e. X ) -> ( [ y ] ( G ~QG Y ) e. ( F " S ) -> E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) ) )
148	147	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( ( y e. X /\ [ y ] ( G ~QG Y ) e. ( F " S ) ) -> E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) ) )
149	18, 148	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( y e. ( `' F " ( F " S ) ) -> E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) ) )
150	149	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> A. y e. ( `' F " ( F " S ) ) E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) )
151		topontop 20718	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
152		eltop2 20779	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( ( `' F " ( F " S ) ) e. J <-> A. y e. ( `' F " ( F " S ) ) E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) ) )
153	24, 151, 152	3syl 18	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( ( `' F " ( F " S ) ) e. J <-> A. y e. ( `' F " ( F " S ) ) E. u e. J ( y e. u /\ u C_ ( `' F " ( F " S ) ) ) ) )
154	150, 153	mpbird 247	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( `' F " ( F " S ) ) e. J )
155		elqtop3 21506	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG Y ) ) ) -> ( ( F " S ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " S ) C_ ( X /. ( G ~QG Y ) ) /\ ( `' F " ( F " S ) ) e. J ) ) )
156	24, 10, 155	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( ( F " S ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " S ) C_ ( X /. ( G ~QG Y ) ) /\ ( `' F " ( F " S ) ) e. J ) ) )
157	13, 154, 156	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( F " S ) e. ( J qTop F ) )
158	3, 5, 6, 8, 9	qusval 16202	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> H = ( F "s G ) )
159		qustgpopn.k	. . 3 |- K = ( TopOpen ` H )
160	158, 5, 10, 9, 22, 159	imastopn 21523	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> K = ( J qTop F ) )
161	157, 160	eleqtrrd 2704	1 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( F " S ) e. K )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   qTop cqtop 16163   /._s cqus 16165   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588  NrmSGrpcnsg 17589   ~_QG cqg 17590  opp_gcoppg 17775   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Homeochmeo 21556   TopGrpctgp 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-oppg 17776  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-tmd 21876  df-tgp 21877

This theorem is referenced by:  qustgplem  21924