Theorem fourierdlem71 40394

Description: A periodic piecewise continuous function, possibly undefined on a finite set in each periodic interval, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem71.dmf	|- ( ph -> dom F C_ RR )
fourierdlem71.f	|- ( ph -> F : dom F --> RR )
fourierdlem71.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem71.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem71.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem71.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem71.7	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem71.q	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem71.q0	|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
fourierdlem71.10	|- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
fourierdlem71.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem71.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem71.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem71.xpt	|- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. dom F )
fourierdlem71.fxpt	|- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem71.i	|- I = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem71.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem71	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )

Distinct variable groups:   x, k   x, A, y   B, k, x   y, B   i, F, x, k   y, F   i, I, x   y, I   x, L   i, M, x, k   Q, i, x, k   y, Q   x, R   T, k, x   y, T   ph, i, x, k   ph, y

Allowed substitution hints:   A( i, k)   B( i)   R( y, i, k)   T( i)   E( x, y, i, k)   I( k)   L( y, i, k)   M( y)

Proof of Theorem fourierdlem71

Dummy variables w b t j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prfi 8235	. . . 4 |- { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } e. Fin
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } e. Fin )
3		fourierdlem71.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : dom F --> RR )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> F : dom F --> RR )
5		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ph )
6		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } )
7		fourierdlem71.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
8		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 ... M ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. _V )
10		fex 6490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR /\ ( 0 ... M ) e. _V ) -> Q e. _V )
11	7, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. _V )
12		rnexg 7098	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q e. _V -> ran Q e. _V )
13		inex1g 4801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran Q e. _V -> ( ran Q i^i dom F ) e. _V )
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ran Q i^i dom F ) e. _V )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( ran Q i^i dom F ) e. _V )
16		fourierdlem71.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- I = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
17		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0..^ M ) e. _V
18	17	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. _V
19	16, 18	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- I e. _V
20	19	rnex 7100	. . . . . . . . . . . 12 |- ran I e. _V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran I e. _V )
22		uniexg 6955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran I e. _V -> U. ran I e. _V )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ran I e. _V )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> U. ran I e. _V )
25		uniprg 4450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran Q i^i dom F ) e. _V /\ U. ran I e. _V ) -> U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } = ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
26	15, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } = ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
27	6, 26	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
28		elinel2 3800	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ran Q i^i dom F ) -> x e. dom F )
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. dom F )
30		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ph )
31		elunnel1 3754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. U. ran I )
32	31	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. U. ran I )
33	16	funmpt2 5927	. . . . . . . . . . . . 13 |- Fun I
34		elunirn 6509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun I -> ( x e. U. ran I <-> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U. ran I <-> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
36	35	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U. ran I -> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. dom I -> i e. dom I )
39		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V
40	39, 16	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom I = ( 0..^ M )
41	38, 40	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. dom I -> i e. ( 0..^ M ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> i e. ( 0..^ M ) )
43	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V )
44	16	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
45	42, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
46		fourierdlem71.fcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
47		cncff 22696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
48		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
49	46, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
50	41, 49	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
51		ssdmres 5420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F <-> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
52	50, 51	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F )
53	45, 52	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( I ` i ) C_ dom F )
54	53	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) -> ( I ` i ) C_ dom F )
55		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) -> x e. ( I ` i ) )
56	54, 55	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) -> x e. dom F )
57	56	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( i e. dom I -> ( x e. ( I ` i ) -> x e. dom F ) ) )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( i e. dom I -> ( x e. ( I ` i ) -> x e. dom F ) ) )
59	58	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( E. i e. dom I x e. ( I ` i ) -> x e. dom F ) )
60	37, 59	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> x e. dom F )
61	30, 32, 60	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. dom F )
62	29, 61	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) -> x e. dom F )
63	5, 27, 62	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> x e. dom F )
64	4, 63	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( F ` x ) e. RR )
65	64	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( F ` x ) e. CC )
66	65	abscld 14175	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
67		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = ( ran Q i^i dom F ) )
68		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
69		rnffi 39356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR /\ ( 0 ... M ) e. Fin ) -> ran Q e. Fin )
70	7, 68, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran Q e. Fin )
71		infi 8184	. . . . . . . . 9 |- ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i dom F ) e. Fin )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ran Q i^i dom F ) e. Fin )
73	72	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( ran Q i^i dom F ) e. Fin )
74	67, 73	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w e. Fin )
75		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) /\ x e. w ) -> ph )
76		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = ( ran Q i^i dom F ) /\ x e. w ) -> x e. w )
77		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = ( ran Q i^i dom F ) /\ x e. w ) -> w = ( ran Q i^i dom F ) )
78	76, 77	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = ( ran Q i^i dom F ) /\ x e. w ) -> x e. ( ran Q i^i dom F ) )
79	78	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) /\ x e. w ) -> x e. ( ran Q i^i dom F ) )
80	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> F : dom F --> RR )
81	28	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. dom F )
82	80, 81	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
83	82	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
84	83	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
85	75, 79, 84	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) /\ x e. w ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
86	85	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
87		fimaxre3 10970	. . . . . 6 |- ( ( w e. Fin /\ A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
88	74, 86, 87	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
89	88	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
90		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> ph )
91		neqne 2802	. . . . . . 7 |- ( -. w = ( ran Q i^i dom F ) -> w =/= ( ran Q i^i dom F ) )
92		elprn1 39865	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } /\ w =/= ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = U. ran I )
93	91, 92	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = U. ran I )
94	93	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = U. ran I )
95		fzofi 12773	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) e. Fin
96	16	rnmptfi 39351	. . . . . . . 8 |- ( ( 0..^ M ) e. Fin -> ran I e. Fin )
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ran I e. Fin
98	97	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> ran I e. Fin )
99	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> F : dom F --> RR )
100	99, 60	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( F ` x ) e. RR )
101	100	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( F ` x ) e. CC )
102	101	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ x e. U. ran I ) -> ( F ` x ) e. CC )
103	102	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ x e. U. ran I ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
104	39, 16	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . 11 |- I Fn ( 0..^ M )
105		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . 11 |- ( I Fn ( 0..^ M ) -> ( t e. ran I <-> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t ) )
106	104, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ran I <-> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
107	106	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ran I -> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
108	107	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
109	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
110		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
112	109, 111	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
113		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
114	113	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
115	109, 114	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
116		fourierdlem71.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
117		fourierdlem71.r	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
118	112, 115, 46, 116, 117	cncfioobd 40110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b )
119	118	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b )
120		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
121	120	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( F ` x ) ) )
122	121	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
123	122	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
124	123	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
125	124	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
126	125	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
127	39, 44	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
128		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I ` i ) = t -> ( I ` i ) = t )
129	127, 128	sylan9req 2677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = t )
130	129	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = t )
131	130	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
132	131	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
133	126, 132	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
134	119, 133	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
135	134	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) ) )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) ) )
137	136	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> ( E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
138	108, 137	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
139	138	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ t e. ran I ) -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
140		eqimss 3657	. . . . . . 7 |- ( w = U. ran I -> w C_ U. ran I )
141	140	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> w C_ U. ran I )
142	98, 103, 139, 141	ssfiunibd 39523	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
143	90, 94, 142	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
144	89, 143	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
145		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. ran Q )
146		elinel2 3800	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) -> x e. dom F )
147	146	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. dom F )
148	145, 147	elind 3798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. ( ran Q i^i dom F ) )
149		elun1 3780	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ran Q i^i dom F ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
150	148, 149	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
151		fourierdlem71.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
152	151	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> M e. NN )
153	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
154		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) -> x e. ( A [,] B ) )
155	154	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
156		fourierdlem71.q0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
157	156	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A = ( Q ` 0 ) )
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> A = ( Q ` 0 ) )
159		fourierdlem71.10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
160	159	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B = ( Q ` M ) )
161	160	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> B = ( Q ` M ) )
162	158, 161	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> ( A [,] B ) = ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
163	155, 162	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> x e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> x e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
165		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> -. x e. ran Q )
166		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( Q ` k ) = ( Q ` j ) )
167	166	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( Q ` k ) < x <-> ( Q ` j ) < x ) )
168	167	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . 12 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < x } = { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) < x }
169	168	supeq1i 8353	. . . . . . . . . . 11 |- sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < x } , RR , < ) = sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) < x } , RR , < )
170	152, 153, 164, 165, 169	fourierdlem25 40349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> E. i e. ( 0..^ M ) x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
171	41	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
172		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> x e. ( I ` i ) )
173	171, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
174	172, 173	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
175	171, 174	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
176		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0..^ M ) )
177	176, 40	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. dom I )
178	177	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> i e. dom I )
179		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
180	127	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( I ` i ) )
181	180	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( I ` i ) )
182	179, 181	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> x e. ( I ` i ) )
183	178, 182	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) )
184	175, 183	impbida 877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) <-> ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
185	184	rexbidv2 3048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. i e. dom I x e. ( I ` i ) <-> E. i e. ( 0..^ M ) x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
186	185	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> ( E. i e. dom I x e. ( I ` i ) <-> E. i e. ( 0..^ M ) x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
187	170, 186	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
188	187, 35	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> x e. U. ran I )
189		elun2 3781	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. ran I -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
190	188, 189	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
191	150, 190	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
192	191	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
193		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] B ) i^i dom F ) C_ ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) <-> A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
194	192, 193	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) i^i dom F ) C_ ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
195	14, 23, 25	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } = ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
196	194, 195	sseqtr4d 3642	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) i^i dom F ) C_ U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } )
197	2, 66, 144, 196	ssfiunibd 39523	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
198		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x ph
199		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ x A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y
200	198, 199	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
201		fourierdlem71.dmf	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom F C_ RR )
202	201	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> x e. RR )
203		fourierdlem71.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. RR )
204	203	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> B e. RR )
205	204, 202	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( B - x ) e. RR )
206		fourierdlem71.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- T = ( B - A )
207		fourierdlem71.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. RR )
208	203, 207	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
209	206, 208	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T e. RR )
210	209	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> T e. RR )
211		fourierdlem71.altb	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A < B )
212	207, 203	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
213	211, 212	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
214	213, 206	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 < T )
215	214	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T =/= 0 )
216	215	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> T =/= 0 )
217	205, 210, 216	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( ( B - x ) / T ) e. RR )
218	217	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ )
219	218	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. RR )
220	219, 210	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) e. RR )
221	202, 220	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
222		fourierdlem71.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
223	222	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. RR ) -> ( E ` x ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
224	202, 221, 223	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
225	224	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( F ` ( E ` x ) ) = ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
226		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. _V
227		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( k e. ZZ <-> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) )
228	227	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) <-> ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) ) )
229		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( k x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) )
230	229	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( x + ( k x. T ) ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
231	230	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
232	231	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) )
233	228, 232	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) ) )
234		fourierdlem71.fxpt	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
235	226, 233, 234	vtocl 3259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
236	218, 235	mpdan 702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
237	225, 236	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( E ` x ) ) )
238	237	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) )
239	238	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) )
240		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
241	240	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` w ) ) )
242	241	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y <-> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y ) )
243	242	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y <-> A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y )
244	243	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y -> A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y )
245	244	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y )
246		iocssicc 12261	. . . . . . . . . . 11 |- ( A (,] B ) C_ ( A [,] B )
247	207	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> A e. RR )
248	211	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> A < B )
249		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> x = y )
250		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( B - x ) = ( B - y ) )
251	250	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - y ) / T ) )
252	251	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) )
253	252	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) )
254	249, 253	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( y + ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) ) )
255	254	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( y e. RR |-> ( y + ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) ) )
256	222, 255	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( y e. RR |-> ( y + ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) ) )
257	247, 204, 248, 206, 256	fourierdlem4 40328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> E : RR --> ( A (,] B ) )
258	257, 202	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( A (,] B ) )
259	246, 258	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( A [,] B ) )
260	230	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. dom F <-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F ) )
261	228, 260	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. dom F ) <-> ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F ) ) )
262		fourierdlem71.xpt	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. dom F )
263	226, 261, 262	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F )
264	218, 263	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F )
265	224, 264	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. dom F )
266	259, 265	elind 3798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) )
267	266	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) )
268		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( E ` x ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( E ` x ) ) )
269	268	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( E ` x ) -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) )
270	269	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( E ` x ) -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y <-> ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) <_ y ) )
271	270	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y /\ ( E ` x ) e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) <_ y )
272	245, 267, 271	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) <_ y )
273	239, 272	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
274	273	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) -> ( x e. dom F -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
275	200, 274	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) -> A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
276	275	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y -> A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
277	276	reximdv 3016	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y -> E. y e. RR A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
278	197, 277	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {cpr 4179   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   abscabs 13974   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  40417  fourierdlem113  40436